Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(k)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio de quinto grau:
O objetivo é expressá-lo como um produto de termos da forma , onde são as raízes do polinômio. Para isso, vamos precisar encontrar todas as raízes desse polinômio e fatorá-lo completamente.

Passo 2

Vamos começar simplificando o polinômio. Observando os coeficientes, percebemos que todos são divisíveis por . Então, podemos fatorar :
Agora, nosso foco será no polinômio dentro dos parênteses:

Passo 3

Para encontrar as raízes desse polinômio, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é e o coeficiente líder é .
Então, as possíveis raízes racionais são: , , , , , .

Passo 4

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio até encontrar uma que resulte em zero.
Testando :
Como o resultado foi zero, é uma raiz. Portanto, é um fator do polinômio.

Passo 5

Agora, vamos utilizar a Divisão Sintética para dividir o polinômio por e encontrar o polinômio resultante de grau 4.
Dividindo:
O resultado da divisão será:

Passo 6

Repitamos o processo para o polinômio resultante . Novamente, aplicamos o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes continuam sendo , , , , , .
Testando :
Então, é uma raiz, e é outro fator.

Passo 7

Novamente, usamos a Divisão Sintética para dividir o polinômio por , resultando no polinômio de grau 3:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio cúbico . Aplicando novamente o Teorema das Raízes Racionais, testamos as possíveis raízes.
Testando :
Portanto, é uma raiz, e é mais um fator.

Passo 9

Dividindo o polinômio por , obtemos o polinômio quadrático:

Passo 10

Fatorando o polinômio quadrático , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . São e .
Então:

Passo 11

Agora, juntando todos os fatores que encontramos:

Resposta

O polinômio pode ser expresso como:

Exercícios relacionados

Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(g)
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(h)
Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(a)
Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(e)