Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(k)
(k)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio de quinto grau:
O objetivo é expressá-lo como um produto de termos da forma
, onde
são as raízes do polinômio. Para isso, vamos precisar encontrar todas as raízes desse polinômio e fatorá-lo completamente.
Passo 2
Vamos começar simplificando o polinômio. Observando os coeficientes, percebemos que todos são divisíveis por
. Então, podemos fatorar
:
Agora, nosso foco será no polinômio dentro dos parênteses:
Passo 3
Para encontrar as raízes desse polinômio, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é
e o coeficiente líder é
.
Então, as possíveis raízes racionais são:
,
,
,
,
,
.
Passo 4
Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio até encontrar uma que resulte em zero.
Testando
:
Como o resultado foi zero,
é uma raiz. Portanto,
é um fator do polinômio.
Passo 5
Agora, vamos utilizar a Divisão Sintética para dividir o polinômio por
e encontrar o polinômio resultante de grau 4.
Dividindo:
O resultado da divisão será:
Passo 6
Repitamos o processo para o polinômio resultante
. Novamente, aplicamos o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes continuam sendo
,
,
,
,
,
.
Testando
:
Então,
é uma raiz, e
é outro fator.
Passo 7
Novamente, usamos a Divisão Sintética para dividir o polinômio
por
, resultando no polinômio de grau 3:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio cúbico
. Aplicando novamente o Teorema das Raízes Racionais, testamos as possíveis raízes.
Testando
:
Portanto,
é uma raiz, e
é mais um fator.
Passo 9
Dividindo o polinômio
por
, obtemos o polinômio quadrático:
Passo 10
Fatorando o polinômio quadrático
, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. São
e
.
Então:
Passo 11
Agora, juntando todos os fatores que encontramos:
Resposta
O polinômio pode ser expresso como:
Exercícios relacionados
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(g)
(g)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(h)
(h)
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(a)
(a)
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(e)
(e)