Expresse os seguintes fasores em suas formas instantâneas:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente transformar alguns fasores em suas formas instantâneas. Basicamente, a gente vai pegar expressões complexas que representam ondas e converter para expressões que mostram como essas ondas se comportam no tempo real. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fasores, exponenciais complexos e funções trigonométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um fasor. Um fasor é uma representação complexa de uma onda senoidal, que facilita os cálculos em corrente alternada e outras áreas. A forma geral de um fasor é algo como $ A e^{j\phi} $, onde $ A $ é a amplitude e $ \phi $ é a fase.
Para converter um fasor para sua forma instantânea, usamos a parte real da expressão complexa e incluímos a função seno ou cosseno dependendo da convenção. A fórmula básica é:
Onde $ \omega $ é a frequência angular e $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a):
Primeiro, precisamos combinar os termos complexos. Multiplicando $ (4 - 3j) $ por $ e^{-j \beta x} $:
Usando a fórmula de Euler $ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta $, podemos reescrever:
Simplificando as expressões trigonométricas (lembrando que $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ e $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $):
Como $ j^2 = -1 $:
Agora, juntamos as partes reais e imaginárias:
Parte real: $ 4 \cos(\beta x) + 3 \sin(\beta x) $
Parte imaginária: $ -4 \sin(\beta x) - 3 \cos(\beta x) $
Para a forma instantânea, consideramos apenas a parte real:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b):
A conversão é similar. Usamos a fórmula de Euler para expandir:
A parte real, que é a forma instantânea, é:
Passo 5
Por fim, a parte ©:
Primeiro, multiplicamos $ (1 + j 2) $ por $ e^{-j \phi} $:
Simplificando com $ j^2 = -1 $:
Separando as partes reais e imaginárias:
Parte real: $ \cos \phi + 2 \sin \phi $
Parte imaginária: $ 2 \cos \phi - \sin \phi $
A forma instantânea considera a parte real e inclui o $ \sin \theta $:
Resposta
As formas instantâneas são:
(a)
(b)
©