Expresse os seguintes fasores em suas formas instantâneas:
(a) As=(4-3 j) e^-j beta x ay
(b) Bs=20rho e^-j 2 z arho
© Cs=10r^2(1+j 2) e^-j phi sen theta aphi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente transformar alguns fasores em suas formas instantâneas. Basicamente, a gente vai pegar expressões complexas que representam ondas e converter para expressões que mostram como essas ondas se comportam no tempo real. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fasores, exponenciais complexos e funções trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um fasor. Um fasor é uma representação complexa de uma onda senoidal, que facilita os cálculos em corrente alternada e outras áreas. A forma geral de um fasor é algo como $ A e^{j\phi} $, onde $ A $ é a amplitude e $ \phi $ é a fase.
Para converter um fasor para sua forma instantânea, usamos a parte real da expressão complexa e incluímos a função seno ou cosseno dependendo da convenção. A fórmula básica é:
A e^jphi
Onde $ \omega $ é a frequência angular e $ t $ é o tempo.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a):
As = (4 - 3j) e^-j beta x ay
Primeiro, precisamos combinar os termos complexos. Multiplicando $ (4 - 3j) $ por $ e^{-j \beta x} $:
(4 - 3j)
Usando a fórmula de Euler $ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta $, podemos reescrever:
e^-j beta x
Simplificando as expressões trigonométricas (lembrando que $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ e $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $):
(4 - 3j) e^-j beta x = 4e^-j beta x - 3j e^-j beta x
Como $ j^2 = -1 $:
e^jtheta = costheta + jsintheta
Agora, juntamos as partes reais e imaginárias:
Parte real: $ 4 \cos(\beta x) + 3 \sin(\beta x) $
Parte imaginária: $ -4 \sin(\beta x) - 3 \cos(\beta x) $
Para a forma instantânea, consideramos apenas a parte real:
4 (cos(-beta x) + j sin(-beta x)) - 3j (cos(-beta x) + j sin(-beta x))

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b):
Bs = 20rho e^-j 2 z arho
A conversão é similar. Usamos a fórmula de Euler para expandir:
20rho (cos(2z) - j sin(2z))
A parte real, que é a forma instantânea, é:
Binst = 20rho cos(2z) arho

Passo 5

Por fim, a parte ©:
Cs = 10r^2 (1 + j 2) e^-j phi sin theta aphi
Primeiro, multiplicamos $ (1 + j 2) $ por $ e^{-j \phi} $:
(1 + j 2)
Simplificando com $ j^2 = -1 $:
e^-j phi
Separando as partes reais e imaginárias:
Parte real: $ \cos \phi + 2 \sin \phi $
Parte imaginária: $ 2 \cos \phi - \sin \phi $
A forma instantânea considera a parte real e inclui o $ \sin \theta $:
(1 + j 2)(cos phi - j sin phi) = cos phi + 2j cos phi - j sin phi - j^2 2 sin phi

Resposta

As formas instantâneas são:
(a) Ainst = [4 cos(beta x) + 3 sin(beta x)] ay
(b) Binst = 20rho cos(2z) arho
© Cinst = 10r^2 (cos phi + 2 sin phi) sin theta aphi

Exercícios relacionados