Um meio é caracterizado por sigma=0, mu=2 muo e varepsilon=5 varepsilon0. Se H=2 cos (omega t-3 y) a2 A / m, calcule omega e E.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um meio com as seguintes propriedades:
  • Condutividade elétrica ( sigma): 0 S/m
  • Permeabilidade magnética ( mu): 2 mu0 (onde mu0 é a permeabilidade do vácuo)
  • Permitividade elétrica ( varepsilon): 5 varepsilon0 (onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo)
Além disso, nos dão o campo magnético:
H = 2 cos(omega t - 3 y) a2 A/m
O que a gente precisa encontrar é a frequência angular omega e o campo elétrico E.
Para resolver isso, vamos usar as equações de Maxwell para meios materiais, considerando que a condutividade sigma é zero, o que simplifica um pouco as coisas. Vamos precisar aplicar a relação entre os campos elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas nos meios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma onda eletromagnética se propagando no meio. Como sigma = 0, o meio é um dielétrico ideal sem perdas.
A equação dada para H é uma onda que se propaga na direção y com uma certa frequência angular omega e número de onda k = 3 rad/m.
A relação fundamental para a velocidade de propagação da onda em um meio é:
v = omegak
E a velocidade de propagação também está relacionada com as propriedades do meio através da permeabilidade e permissividade:
v = 1raizmu varepsilon
Vamos igualar as duas expressões para encontrar omega.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a velocidade de propagação no meio usando mu e varepsilon:
v = 1raizmu varepsilon = 1raiz2 mu0 cdot 5 varepsilon0 = 1raiz10 mu0 varepsilon0
Sabemos que no vácuo:
Então:
v0 = 1raizmu0 varepsilon0 approx 3 times 10^8 m/s

Passo 4

Agora, usando a relação v = omegak, podemos encontrar omega:
omega = v cdot k = 9.4868 times 10^7 m/s times 3 rad/m = 2.846 times 10^8 rad/s

Passo 5

Agora que temos omega, vamos encontrar o campo elétrico E. Para ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela impedância do meio ( Z):
Z = raizmuvarepsilon = raiz2 mu05 varepsilon0 = raiz25 cdot Z0
Onde Z0 = raizmu0varepsilon0 approx 377 Omega.
Calculando Z:
Z = raiz25 times 377 approx 0.6325 times 377 approx 238 Omega
A relação entre E e H é dada por:
E = Z H times n
Onde n é o vetor unitário na direção de propagação. Como a onda se propaga na direção y, n = a2.
Então:
E = Z cdot 2 cos(omega t - 3 y) a2 times a2
Mas a2 times a2 = 0, o que indica que precisamos considerar a relação correta entre os campos. Na verdade, os campos E e H estão perpendiculares entre si e à direção de propagação. Assim, se H está na direção a2, e a propagação é em y, então provavelmente há um erro na orientação.
Vamos considerar que H está perpendicular à propagação. Suponha que a propagação seja na direção y e H na direção a2 seja consistente. Então, o campo elétrico estará na direção perpendicular, digamos a1.
Então:
E = Z cdot 2 cos(omega t - 3 y) a1
Substituindo Z:
E = 238 times 2 cos(2.846 times 10^8 t - 3 y) a1 approx 476 cos(2.846 times 10^8 t - 3 y) a1 V/m

Resposta

A frequência angular é omega approx 2.846 times 10^8 rad/s e o campo elétrico é
E approx 476 cos(2.846 times 10^8 t - 3 y) a1 V/m

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