(05) Duas bobinas separadas por uma distância R igual ao seu raio comum e percorridas por correntes de mesma intensidade e sentido são conhecidas como bobinas de Helmholtz. Uma característica desse arranjo é que o campo magnético resultante entre as bobinas é extremamente uniforme. Suponha R=10 cm, I=20 A e N=300 espiras para as duas bobinas. Uma das bobinas está no plano yz, com centro na origem, e a outra em um plano paralelo ao primeiro, passando pelo ponto x=10 cm. (a) Calcule o campo resultante Bx.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos duas bobinas chamadas de bobinas de Helmholtz, que são separadas por uma distância igual ao raio das bobinas. As correntes que passam nelas têm a mesma intensidade e sentido, o que faz com que o campo magnético resultante entre elas seja bem uniforme. A gente precisa calcular o campo magnético resultante $ B_{x} $ nesse arranjo. Para isso, vamos usar conceitos de campos magnéticos gerados por bobinas e a configuração específica das bobinas de Helmholtz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o campo magnético no eixo central de uma bobina circular. O campo magnético $ B $ a uma distância $ x $ ao longo do eixo de uma bobina com $ N $ espiras, corrente $ I $ e raio $ R $ é dado por:
B
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, que vale $ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $.

Passo 3

Como temos duas bobinas de Helmholtz, a distância entre elas é igual ao raio $ R $, e estamos interessados no ponto médio entre elas, onde $ x = R $. Então, substituindo $ x = R $ na fórmula:
R

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
(2R^2)^3/2 = 2^3/2 cdot R^3 = 2 raiz2 cdot R^3
Substituindo de volta na fórmula do campo:
B = mu0 N I R^22 cdot 2 raiz2 cdot R^3 = mu0 N I4 raiz2 R

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dados na questão:
  • $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $
  • $ N = 300 $
  • $ I = 20 , A $
  • $ R = 0,10 , m $
Então:
mu0 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando os valores do numerador:
4pi times 10^-7 times 300 times 20 = 4pi times 10^-7 times 6000 = 24pi times 10^-4 , Tcdotm/A
  1. Calculando o denominador:
4 raiz2 times 0,10 = 0,4 raiz2 approx 0,4 times 1,4142 approx 0,5657
  1. Dividindo numerador pelo denominador:
B = 24pi times 10^-40,5657 approx 75,3982 times 10^-40,5657 approx 1,333 times 10^-2 , T

Resposta

O campo magnético resultante $ B_{x} $ é aproximadamente $ 1,33 \times 10^{-2} , T $.

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