Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação w = Ln(z).
(a) Circunferência |z| = 4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a imagem da circunferência sob a transformação . Para isso, vamos usar conceitos de funções no plano complexo, especialmente o logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o logaritmo complexo de um número é dado por:
Aqui, representa o logaritmo natural do módulo de e é o argumento de , ou seja, o ângulo que forma com o eixo real positivo no plano complexo.

Passo 3

No caso da circunferência , todo número nesse conjunto tem módulo igual a 4. Portanto, .
Além disso, o argumento pode variar de a , já que percorre toda a circunferência.

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão do logaritmo complexo, temos:
onde .
Isso significa que a imagem da circunferência sob a transformação é uma linha horizontal no plano complexo, onde a parte real de é constante e igual a , enquanto a parte imaginária varia de a .

Resposta

A imagem da circunferência sob a transformação é a reta horizontal no plano complexo definida por e .

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