Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação
.
(a) Circunferência
.
(a) Circunferência
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a imagem da circunferência
sob a transformação
. Para isso, vamos usar conceitos de funções no plano complexo, especialmente o logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o logaritmo complexo de um número
é dado por:
Aqui,
representa o logaritmo natural do módulo de
e
é o argumento de
, ou seja, o ângulo que
forma com o eixo real positivo no plano complexo.
Passo 3
No caso da circunferência
, todo número
nesse conjunto tem módulo igual a 4. Portanto,
.
Além disso, o argumento
pode variar de
a
, já que
percorre toda a circunferência.
Passo 4
Substituindo esses valores na expressão do logaritmo complexo, temos:
onde
.
Isso significa que a imagem da circunferência
sob a transformação
é uma linha horizontal no plano complexo, onde a parte real de
é constante e igual a
, enquanto a parte imaginária varia de
a
.
Resposta
A imagem da circunferência
sob a transformação
é a reta horizontal no plano complexo definida por
e
.
Exercícios relacionados
Dados
e a correspondência entre
e
dada por
e
, faça um diagrama e diga se
é uma função de
em
.
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(b) Retângulo .
(b) Retângulo
Determine o valor principal da potência complexa dada.
(b)
(b)
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
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