Sejam Y enumerável e f: X -> Y tal que, para cada y em Y, f^{-1}(y) é enumerável. Prove que X é enumerável.

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício:
Temos um conjunto Y que é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos em uma sequência. Também temos uma função f: X -> Y de um conjunto X para Y. A condição dada é que, para cada elemento y em Y, o conjunto f^-1(y) (que é o conjunto de todos os elementos em X que são mapeados para y por f) também é enumerável. O que precisamos provar é que o conjunto X também é enumerável.
Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como a união de conjuntos enumeráveis também pode ser enumerável para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como . Isso é importante porque nos permite organizar os elementos de maneira que possamos contá-los um por um.

Passo 3

Agora, sabemos que Y é enumerável. Isso significa que podemos escrever seus elementos como . Ou seja, há uma sequência que lista todos os elementos de Y sem omitir nenhum.

Passo 4

A função f: X -> Y atribui a cada elemento de X um elemento de Y. A condição dada é que, para cada em Y, o conjunto é enumerável. Isso significa que para cada , podemos listar todos os elementos de X que são mapeados para por f.

Passo 5

Vamos considerar X como a união de todos esses conjuntos para cada em Y. Formalmente, temos:
Isso significa que todo elemento de X está em pelo menos um desses conjuntos .

Passo 6

Agora, utilizamos um conceito importante na teoria dos conjuntos: a união contável de conjuntos enumeráveis é também enumerável. Isso quer dizer que se tivermos uma sequência infinita de conjuntos enumeráveis, sua união total também pode ser listada em uma sequência infinita sem faltar nenhum elemento.

Passo 7

Aplicando esse conceito ao nosso caso, já que Y é enumerável e para cada , é enumerável, a união de todos os , que é X, também será enumerável.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto X é enumerável.

Exercícios relacionados