Sejam enumerável e tal que, para cada é enumerável. Prove que é enumerável.

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício:
Temos um conjunto que é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos em uma sequência. Também temos uma função de um conjunto para . A condição dada é que, para cada elemento em , o conjunto (que é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para por ) também é enumerável. O que precisamos provar é que o conjunto também é enumerável.
Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como a união de conjuntos enumeráveis também pode ser enumerável para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como . Isso é importante porque nos permite organizar os elementos de maneira que possamos contá-los um por um.

Passo 3

Agora, sabemos que é enumerável. Isso significa que podemos escrever seus elementos como . Ou seja, há uma sequência que lista todos os elementos de sem omitir nenhum.

Passo 4

A função atribui a cada elemento de um elemento de . A condição dada é que, para cada em , o conjunto é enumerável. Isso significa que para cada , podemos listar todos os elementos de que são mapeados para por .

Passo 5

Vamos considerar como a união de todos esses conjuntos para cada em . Formalmente, temos:
Isso significa que todo elemento de está em pelo menos um desses conjuntos .

Passo 6

Agora, utilizamos um conceito importante na teoria dos conjuntos: a união contável de conjuntos enumeráveis é também enumerável. Isso quer dizer que se tivermos uma sequência infinita de conjuntos enumeráveis, sua união total também pode ser listada em uma sequência infinita sem faltar nenhum elemento.

Passo 7

Aplicando esse conceito ao nosso caso, já que é enumerável e para cada , é enumerável, a união de todos os , que é , também será enumerável.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto é enumerável.

Exercícios relacionados

se então
Prove que o conjunto é infinito se, e somente se,
  • .
  • Não existe, seja qual for , uma função sobrejetora .
Calcule a)
Exprima como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.