Sejam
enumerável e
tal que, para cada
é enumerável. Prove que
é enumerável.
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício:
Temos um conjunto
que é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos em uma sequência. Também temos uma função
de um conjunto
para
. A condição dada é que, para cada elemento
em
, o conjunto
(que é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para
por
) também é enumerável. O que precisamos provar é que o conjunto
também é enumerável.
Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como a união de conjuntos enumeráveis também pode ser enumerável para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como
. Isso é importante porque nos permite organizar os elementos de maneira que possamos contá-los um por um.
Passo 3
Agora, sabemos que
é enumerável. Isso significa que podemos escrever seus elementos como
. Ou seja, há uma sequência que lista todos os elementos de
sem omitir nenhum.
Passo 4
A função
atribui a cada elemento de
um elemento de
. A condição dada é que, para cada
em
, o conjunto
é enumerável. Isso significa que para cada
, podemos listar todos os elementos de
que são mapeados para
por
.
Passo 5
Vamos considerar
como a união de todos esses conjuntos
para cada
em
. Formalmente, temos:
Isso significa que todo elemento de
está em pelo menos um desses conjuntos
.
Passo 6
Agora, utilizamos um conceito importante na teoria dos conjuntos: a união contável de conjuntos enumeráveis é também enumerável. Isso quer dizer que se tivermos uma sequência infinita de conjuntos enumeráveis, sua união total também pode ser listada em uma sequência infinita sem faltar nenhum elemento.
Passo 7
Aplicando esse conceito ao nosso caso, já que
é enumerável e para cada
,
é enumerável, a união de todos os
, que é
, também será enumerável.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto
é enumerável.
Exercícios relacionados
se
então
Prove que o conjunto
é infinito se, e somente se,
-
. - Não existe, seja qual for
, uma função sobrejetora .
Calcule a)
Exprima
como uma união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.