A extremidade da mola vibra com um período T, quando uma certa massa M está ligada a ela. Quando essa massa é acrescida de uma massa m, o período de oscilação do sistema passa para 3/2T. A razão entre as massas m/M é?

Passo 1

Então, o enunciado fala sobre uma mola que vibra com um período $ T $ quando uma massa $ M $ está presa a ela. Quando adicionamos uma massa extra $ m $, o novo período de oscilação passa para $ \frac{3}{2}T $. A matéria envolvida aqui é o movimento harmônico simples de um sistema massa-mola. Para resolver, vamos usar a fórmula do período de uma mola e relacionar os períodos antes e depois de adicionar a massa.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula do período $ T $ de uma mola com massa $ M $:
T
onde $ k $ é a constante da mola.

Passo 3

Quando adicionamos a massa $ m $, a massa total vira $ M + m $. O novo período $ T_{novo} $ é:
m
Segundo o enunciado, $ T_{novo} = \frac{3}{2}T $. Então, temos:
M + m

Passo 4

Podemos simplificar ambos os lados dividindo por $ 2\pi $:
2pi

Passo 5

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
M + mk = (32)^2 Mk
M + mk = 94 Mk

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ k $ para simplificar:
k

Passo 7

Isolando $ m $:
m
m = 94M - M

Resposta

A razão entre as massas é $ \frac{m}{M} = \frac{5}{4} $.

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