Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma partícula de
é presa à outra extremidade e a mola é distendida de uma distância x
. Em seguida, a partícula é liberada sem velocidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distensão da mola diminuiu para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mola com uma parte fixa e uma partícula de massa
presa na outra extremidade. A mola é esticada
e a partícula é solta sem velocidade inicial. Queremos descobrir qual a velocidade da partícula quando a mola está esticada apenas
.
Aqui, vamos usar Conservação de Energia Mecânica, que nos ajuda a relacionar a energia potencial da mola com a energia cinética da partícula durante o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial elástica da mola é dada pela fórmula:
onde:
-
é a energia potencial, -
é a constante da mola, -
é a deformação da mola.
Como a mola é esticada e depois liberada, a energia armazenada na mola será convertida em energia cinética da partícula.
Passo 3
A energia cinética da partícula é dada por:
onde:
-
é a energia cinética, -
é a massa da partícula, -
é a velocidade da partícula.
Como a partícula é liberada a partir do repouso, toda a energia potencial inicial irá se converter em energia cinética e energia potencial da mola conforme a mola volta ao seu equilíbrio.
Passo 4
Aplicando a conservação da energia mecânica:
Substituindo as fórmulas das energias:
onde:
-
(distensão inicial), -
(distensão final).
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Passo 6
Agora, vamos isolar o termo com
:
Fatorando
:
Calculando os quadrados:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 9
Para encontrar o valor numérico da velocidade, precisamos conhecer a constante da mola
. Porém, como a questão não forneceu esse valor, a velocidade será expressa em termos de
:
Resposta
A velocidade da partícula quando a distensão da mola diminuiu para
é
, onde
é a constante da mola.