Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma partícula de 4,0 kg é presa à outra extremidade e a mola é distendida de uma distância x =1,0 m. Em seguida, a partícula é liberada sem velocidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distensão da mola diminuiu para x=0,5 m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mola com uma parte fixa e uma partícula de massa presa na outra extremidade. A mola é esticada e a partícula é solta sem velocidade inicial. Queremos descobrir qual a velocidade da partícula quando a mola está esticada apenas .
Aqui, vamos usar Conservação de Energia Mecânica, que nos ajuda a relacionar a energia potencial da mola com a energia cinética da partícula durante o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial elástica da mola é dada pela fórmula:
U = 12 k x^2
onde:
  • é a energia potencial,
  • é a constante da mola,
  • é a deformação da mola.
Como a mola é esticada e depois liberada, a energia armazenada na mola será convertida em energia cinética da partícula.

Passo 3

A energia cinética da partícula é dada por:
K = 12 m v^2
onde:
  • é a energia cinética,
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade da partícula.
Como a partícula é liberada a partir do repouso, toda a energia potencial inicial irá se converter em energia cinética e energia potencial da mola conforme a mola volta ao seu equilíbrio.

Passo 4

Aplicando a conservação da energia mecânica:
Uinicial = K + Ufinal
Substituindo as fórmulas das energias:
12 k xi^2 = 12 m v^2 + 12 k xf^2
onde:
  • (distensão inicial),
  • (distensão final).

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
12 k (1,0)^2 = 12 times 4,0, kg times v^2 + 12 k (0,5)^2
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar as frações:
k (1,0)^2 = 4,0, kg times v^2 + k (0,5)^2

Passo 6

Agora, vamos isolar o termo com k (1,0)^2 - k (0,5)^2 = 4,0, kg times v^2 :
k [ (1,0)^2 - (0,5)^2 ] = 4,0, kg times v^2
Fatorando k (1 - 0,25) = 4,0, kg times v^2 :
k times 0,75 = 4,0, kg times v^2
Calculando os quadrados:

Passo 7

Agora, resolvemos para v^2 = 0,75, k4,0, kg :
v^2 = 0,75, k4,0
v^2 = 0,754,0 k
v^2 = 0,1875, k

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v = raiz0,1875, k :

Passo 9

Para encontrar o valor numérico da velocidade, precisamos conhecer a constante da mola v = raiz0,1875, k . Porém, como a questão não forneceu esse valor, a velocidade será expressa em termos de :

Resposta

A velocidade da partícula quando a distensão da mola diminuiu para é , onde é a constante da mola.

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