Solenóide com Bobina - Continuação
Suponha que a corrente no solenóide do exercicio anterior varie de acordo com a expressão i=3 t+t^2, em que i é dada em ampéres e t em segundos. (a) Faça um gráfico da fem na bobina desde t=0 até t=4 s. (b) A resisténcia da bobina vale 0,15 Omega. Calcule a corrente na bobina em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um solenóide com uma bobina, e a corrente que passa pelo solenóide varia com o tempo segundo a expressão , onde está em ampères e em segundos. Nosso objetivo é:
a) Traçar o gráfico da força eletromotriz (fem) na bobina de até segundos.
b) Calcular a corrente na bobina quando segundos, sabendo que a resistência da bobina é .
Vamos precisar entender um pouco sobre indução eletromagnética e como a mudança na corrente gera uma fem na bobina. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a força eletromotriz (fem) induzida na bobina. De acordo com a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, a fem induzida é dada por:
varepsilon = -L didt
onde:
  • é a fem,
  • é a indutância da bobina,
  • é a taxa de variação da corrente em relação ao tempo.
Mas pera aí! Não temos o valor da indutância . Vamos assumir que o exercício anterior forneceu esse valor, ou que é desnecessário para traçar o gráfico, já que queremos a relação em termos de . Então, vamos focar em encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da corrente em relação ao tempo:
i(t) = 3t + t^2
Derivando em relação a didt = 3 + 2t :
varepsilon(t) = -L (3 + 2t)
Substituindo na fórmula da fem:
Como não temos o valor específico de , vamos considerar que ele é constante e focar na forma da função da fem em relação ao tempo. Isso nos ajudará a traçar o gráfico.

Passo 4

Para o gráfico da fem desde varepsilon(t) = -L (3 + 2t) até segundos:
Este é uma função linear em , onde a fem diminui conforme o tempo aumenta, dependendo do valor de . Sem o valor numérico de , o gráfico será uma linha reta com inclinação e intercepto .

Passo 5

Agora, para a parte (b), precisamos calcular a corrente na bobina quando varepsilon = I cdot R segundos. Sabemos que a resistência I = varepsilonR da bobina é varepsilon(2) = -L (3 + 2 times 2) = -L (3 + 4) = -7L .
Usaremos a Lei de Ohm, que relaciona a fem ( I = -7L0,15 ), a corrente ( I = -7L0,15 = -140L3 ) e a resistência ( ):
Rearranjando para encontrar :
Primeiro, vamos encontrar em s:
Agora, substituindo na equação de Ohm:
Simplificando:
Sem o valor numérico de , não podemos calcular um valor exato para , mas essa é a expressão que relaciona a corrente com a indutância da bobina.

Resposta

A corrente na bobina em segundos é ampères, onde é a indutância da bobina.

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