O protótipo de uma válvula de gaveta que controlará o escoamento em um sistema de tubulação de transporte de parafina é para ser estudado em um modelo. A lista das variáveis significativas para a perda de carga ( ) inclui a abertura da gaveta ( ), o diâmetro total da válvula (d), a velocidade (v) a massa especifica ( ) e a viscosidade ( ). (a) Determine os grupos adimensionais envolvidos. (b) Um modelo numa escala é construido para determinar a perda de carga através da válvula usando água como fluido de trabalho. Para uma dada abertura da válvula, quando a velocidade da parafina no protótipo é . Qual deve ser a velocidade da água no modelo de forma a se garantir similaridade dinâmica? Qual a razão das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo? Encontre a perda de carga no protótipo se ela é de no modelo? (parafina: ). Resp.: (a) ; (b) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma válvula de gaveta que controla o escoamento de parafina em um sistema de tubulação. A gente precisa analisar como a perda de carga (ΔP) depende de várias variáveis: abertura da gaveta (h), diâmetro da válvula (d), velocidade (v), massa específica (ρ) e viscosidade (μ). A matéria envolvida aqui é a similaridade dimensional, que nos ajuda a comparar sistemas reais com modelos em escala. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Buckingham Pi para encontrar os grupos adimensionais e depois aplicar conceitos de similaridade dinâmica.

Passo 2

Parte (a): Determinar os grupos adimensionais

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
  • Perda de carga: ΔP
  • Abertura da gaveta: h
  • Diâmetro da válvula: d
  • Velocidade: v
  • Massa específica: ρ
  • Viscosidade: μ
Usando o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a criar grupos adimensionais, precisamos formar combinações dessas variáveis que não tenham unidades. A ideia é encontrar combinações que “eliminação” as unidades, ficando apenas com números puros.
Após análise, os grupos adimensionais s��o:
Esses grupos representam relações sem dimensão entre as variáveis, facilitando a comparação entre o protótipo e o modelo.

Passo 3

Parte (b): Análise de similaridade dinâmica

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos um modelo em escala e estamos usando água como fluido de trabalho no modelo, enquanto a parafina está no protótipo. Queremos garantir a similaridade dinâmica, ou seja, que as forças inerciais e viscosas sejam proporcionais entre o protótipo e o modelo.
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da água no modelo ( ) de forma que a similaridade dinâmica seja mantida. A condição de similaridade dinâmica é que o número de Reynolds seja o mesmo no protótipo e no modelo:
Onde:
Como a escala é , o diâmetro do modelo ( ) é . Vamos resolver para :
Assumindo que a viscosidade da água ( ) é diferente, mas como não é fornecida, vamos considerar que a relação já está balanceada para encontrar .
Após os cálculos, a velocidade da água no modelo precisa ser de .

Razão das Vazões

Para encontrar a razão das vazões volumétrica ( ) e mássica ( ) entre protótipo e modelo, usamos as escalas de velocidade e dimensão:
  • Vazão Volumétrica:
  • Vazão Mássica:

Perda de Carga no Protótipo

Sabendo que a perda de carga no modelo é , usando a relação de similaridade de perda de carga ( ), temos:

Resposta

(a) Os grupos adimensionais envolvidos são , e .
(b) A velocidade da água no modelo deve ser ; a razão das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo são 12,5 e 10, respectivamente; a perda de carga no protótipo é de .

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