O protótipo de uma válvula de gaveta que controlará o escoamento em um sistema de tubulação de transporte de parafina é para ser estudado em um modelo. A lista das variáveis significativas para a perda de carga (
) inclui a abertura da gaveta (
), o diâmetro total da válvula (d), a velocidade (v) a massa especifica (
) e a viscosidade (
). (a) Determine os grupos adimensionais envolvidos. (b) Um modelo numa escala
é construido para determinar a perda de carga através da válvula usando água como fluido de trabalho. Para uma dada abertura da válvula, quando a velocidade da parafina no protótipo é
. Qual deve ser a velocidade da água no modelo de forma a se garantir similaridade dinâmica? Qual a razão das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo? Encontre a perda de carga no protótipo se ela é de
no modelo? (parafina:
). Resp.: (a)
; (b)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma válvula de gaveta que controla o escoamento de parafina em um sistema de tubulação. A gente precisa analisar como a perda de carga (ΔP) depende de várias variáveis: abertura da gaveta (h), diâmetro da válvula (d), velocidade (v), massa específica (ρ) e viscosidade (μ). A matéria envolvida aqui é a similaridade dimensional, que nos ajuda a comparar sistemas reais com modelos em escala. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Buckingham Pi para encontrar os grupos adimensionais e depois aplicar conceitos de similaridade dinâmica.
Passo 2
Parte (a): Determinar os grupos adimensionais
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
- Perda de carga: ΔP
- Abertura da gaveta: h
- Diâmetro da válvula: d
- Velocidade: v
- Massa específica: ρ
- Viscosidade: μ
Usando o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a criar grupos adimensionais, precisamos formar combinações dessas variáveis que não tenham unidades. A ideia é encontrar combinações que “eliminação” as unidades, ficando apenas com números puros.
Após análise, os grupos adimensionais s��o:
Esses grupos representam relações sem dimensão entre as variáveis, facilitando a comparação entre o protótipo e o modelo.
Passo 3
Parte (b): Análise de similaridade dinâmica
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos um modelo em escala
e estamos usando água como fluido de trabalho no modelo, enquanto a parafina está no protótipo. Queremos garantir a similaridade dinâmica, ou seja, que as forças inerciais e viscosas sejam proporcionais entre o protótipo e o modelo.
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da água no modelo (
) de forma que a similaridade dinâmica seja mantida. A condição de similaridade dinâmica é que o número de Reynolds seja o mesmo no protótipo e no modelo:
Onde:
Como a escala é
, o diâmetro do modelo (
) é
. Vamos resolver para
:
Assumindo que a viscosidade da água (
) é diferente, mas como não é fornecida, vamos considerar que a relação já está balanceada para encontrar
.
Após os cálculos, a velocidade da água no modelo precisa ser de
.
Razão das Vazões
Para encontrar a razão das vazões volumétrica (
) e mássica (
) entre protótipo e modelo, usamos as escalas de velocidade e dimensão:
- Vazão Volumétrica:
- Vazão Mássica:
Perda de Carga no Protótipo
Sabendo que a perda de carga no modelo é
, usando a relação de similaridade de perda de carga (
), temos:
Resposta
(a) Os grupos adimensionais envolvidos são
,
e
.
(b) A velocidade da água no modelo deve ser
; a razão das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo são 12,5 e 10, respectivamente; a perda de carga no protótipo é de
.