Considere as bases
e
para
. Calcule a matriz de mudança da base
para a base
. Se um vetor
tem coordenadas com relação à base
dado por
, determine as coordenadas de
relação à base
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em
. Primeiro, a gente tem duas bases:
- Base
- Base
A gente precisa calcular a matriz que faz a mudança de base de
para
. Depois, usando essa matriz, vamos encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base
, sabendo que em
é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base de
para
, que chamaremos de
, transforma coordenadas de
para
. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
.
Passo 3
Vamos escrever os vetores de
como combinações lineares dos vetores de
. Ou seja, para cada
, queremos achar escalares
e
tais que:
onde
e
.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de
, que é
. Precisamos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Expandindo:
Então,
Passo 6
Portanto,
.
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de
, que é
:
O sistema fica:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 8
Portanto,
.
Passo 9
Agora, juntando os coeficientes que encontramos, a matriz de mudança de base de
para
é:
Passo 10
Mas a gente precisa da matriz inversa, pois queremos ir de
para
. Então, vamos calcular
.
Para inverter a matriz
:
Passo 11
Agora, sabemos que
. Para encontrar
, usamos a matriz
:
Passo 12
Multiplicando as matrizes:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são
.