Considere as bases
e
c B=binom11,binom20 C=binom2-1,binom-12
para R^2. Calcule a matriz de mudança da base B para a base C. Se um vetor v in R^2 tem coordenadas com relação à base B dado por [v]C=binom35, determine as coordenadas de v com relação à base B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em R^2. Primeiro, a gente tem duas bases:
  • Base B = 1 1, 2 0
  • Base C = 2 -1, -1 2
A gente precisa calcular a matriz que faz a mudança de base de B para C. Depois, usando essa matriz, vamos encontrar as coordenadas do vetor v em relação à base B, sabendo que em C é 3 5.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base de B para C, que chamaremos de PB to C, transforma coordenadas de B para C. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base B em termos da base C.

Passo 3

Vamos escrever os vetores de B como combinações lineares dos vetores de C. Ou seja, para cada bi in B, queremos achar escalares ai e bi tais que:
bi = ai c1 + bi c2
onde c1 = 2 -1 e c2 = -1 2.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de B, que é 1 1. Precisamos resolver:
1 1 = a 2 -1 + b -1 2
Isso nos dá o sistema de equações:
2a - b = 1 - a + 2b = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -a + 2b = 1 Rightarrow a = 2b - 1
Substituindo na primeira equação:
2(2b - 1) - b = 1
Expandindo:
4b - 2 - b = 1 Rightarrow 3b - 2 = 1 Rightarrow 3b = 3 Rightarrow b = 1
Então, a = 2(1) - 1 = 1

Passo 6

Portanto, 1 1 = 1 cdot 2 -1 + 1 cdot -1 2.
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de B, que é 2 0:
2 0 = a 2 -1 + b -1 2
O sistema fica:
2a - b = 2 - a + 2b = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -a + 2b = 0 Rightarrow a = 2b
Substituindo na primeira equação:
2(2b) - b = 2 Rightarrow 4b - b = 2 Rightarrow 3b = 2 Rightarrow b = 23
Então, a = 2 cdot 23 = 43

Passo 8

Portanto, 2 0 = 43 cdot 2 -1 + 23 cdot -1 2.

Passo 9

Agora, juntando os coeficientes que encontramos, a matriz de mudança de base de B para C é:
PB to C = 1 & 43 1 & 23

Passo 10

Mas a gente precisa da matriz inversa, pois queremos ir de C para B. Então, vamos calcular PC to B = PB to C^-1.
Para inverter a matriz PB to C:
PC to B = 1(1)(23) - (1)(43) 23 & -43 -1 & 1 = 123 - 43 23 & -43 -1 & 1 = 1- 23 23 & -43 -1 & 1
PC to B = -32 23 & -43 -1 & 1 = -1 & 2 32 & -32

Passo 11

Agora, sabemos que [v]C = 3 5. Para encontrar [v]B, usamos a matriz PC to B:
[v]B = PC to B cdot [v]C = -1 & 2 32 & -32 3 5

Passo 12

Multiplicando as matrizes:
-1 cdot 3 + 2 cdot 5 32 cdot 3 + (-32) cdot 5 = -3 + 10 92 - 152 = 7 -3

Resposta

As coordenadas do vetor v em relação à base B são 7 -3.

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