Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto é linearmente independente no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, em . Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Vamos precisar montar uma equação com esses polinômios e resolver para ver se só a solução trivial existe.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma combinação linear desses polinômios igual a zero. Isso significa que existem constantes , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:
Agora, vamos reorganizar os termos por ordem de potência de :
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação: c = 0.
Substituindo c = 0 na terceira equação: b + 0 = 0Rightarrowb = 0.
Substituindo b = 0 na segunda equação: -a + 0 = 0Rightarrowa = 0.
Resposta
Como a única solução para a, b e c é a = b = c = 0, concluímos que o conjunto -x, 1+x, 1+x^2 é linearmente independente em P2[R].