Mostre que o conjunto -x, 1+x, 1+x^2 in P2[R] é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto -x, 1+x, 1+x^2 é linearmente independente no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, em P2[R]. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Vamos precisar montar uma equação com esses polinômios e resolver para ver se só a solução trivial existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma combinação linear desses polinômios igual a zero. Isso significa que existem constantes a, b e c tais que:
a(-x) + b(1 + x) + c(1 + x^2) = 0

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:
-ax + b + bx + c + cx^2 = 0
Agora, vamos reorganizar os termos por ordem de potência de x:
cx^2 + (-a + b)x + (b + c) = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c = 0 -a + b = 0 b + c = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Da primeira equação: c = 0.
  2. Substituindo c = 0 na terceira equação: b + 0 = 0 Rightarrow b = 0.
  3. Substituindo b = 0 na segunda equação: -a + 0 = 0 Rightarrow a = 0.

Resposta

Como a única solução para a, b e c é a = b = c = 0, concluímos que o conjunto -x, 1+x, 1+x^2 é linearmente independente em P2[R].

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