(F) Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes
e
separadas por uma distância
. Esse dipolo está imerso em uma região de campo elétrico uniforme
e o vetor momento de dipolo elétrico associado
faz um ângulo
.
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
onde
.
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que essa questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é basicamente duas cargas pontuais de sinais opostos (+q e -q) separadas por uma distância
. Esse dipolo está dentro de um campo elétrico uniforme
, e o momento do dipolo
forma um ângulo
com o campo
.
O conteúdo principal aqui é energia potencial elétrica de um dipolo em um campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a energia potencial de cada carga no campo e depois juntar essas energias para obter a energia total do dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo elétrico uniforme. A fórmula que usamos é:
onde
é a energia potencial,
é a carga, e
é o potencial elétrico.
Sabemos que o potencial elétrico
em uma posição em um campo elétrico uniforme
é dado por:
onde
é o vetor posição da carga.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso dipolo. Temos duas cargas:
e
. Vamos calcular a energia potencial de cada uma no campo
.
Para a carga
:
Para a carga
:
Passo 4
A energia potencial total
do dipolo é a soma das energias potenciais das duas cargas:
Simplificando:
Passo 5
Vamos considerar que as duas cargas estão separadas por uma distância
e que o momento do dipolo
, onde
é o vetor que vai de
para
.
Sabemos que o momento do dipolo faz um ângulo
com o campo elétrico
. Então, podemos escrever:
onde
é a direção de
e
é perpendicular a
.
Passo 6
Voltando à expressão da energia potencial total:
Como
, podemos reescrever:
Como
, substituímos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Portanto, a energia potencial fica:
Resposta
A energia potencial da interação do dipolo com o campo elétrico é dada por:
onde
.