(F) Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes +q e -q(q>0) separadas por uma distância d. Esse dipolo está imerso em uma região de campo elétrico uniforme E e o vetor momento de dipolo elétrico associado p faz um ângulo phi com E.
(a) Utilizando o resultado obtido em aula para a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo uniforme, mostre que a energia potencial da interação do dipolo com o campo pode ser escrita como:
U=-p E cos phi=-p cdot E
onde p=|p|=q d.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que essa questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é basicamente duas cargas pontuais de sinais opostos (+q e -q) separadas por uma distância . Esse dipolo está dentro de um campo elétrico uniforme , e o momento do dipolo forma um ângulo com o campo .
O conteúdo principal aqui é energia potencial elétrica de um dipolo em um campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a energia potencial de cada carga no campo e depois juntar essas energias para obter a energia total do dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um campo elétrico uniforme. A fórmula que usamos é:
U = q V
onde V = -E cdot r é a energia potencial, é a carga, e é o potencial elétrico.
Sabemos que o potencial elétrico em uma posição em um campo elétrico uniforme é dado por:
onde é o vetor posição da carga.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso dipolo. Temos duas cargas: U+ = q V+ = q (-E cdot r+) e U- = (-q) V- = (-q) (-E cdot r-) . Vamos calcular a energia potencial de cada uma no campo .
Para a carga :
Para a carga :

Passo 4

A energia potencial total U = U+ + U- = q (-E cdot r+) + (-q) (-E cdot r-) do dipolo é a soma das energias potenciais das duas cargas:
U = -q (E cdot r+) + q (E cdot r-)
Simplificando:

Passo 5

Vamos considerar que as duas cargas estão separadas por uma distância p = p (cos phi , E + sin phi , perp) e que o momento do dipolo , onde é o vetor que vai de para .
Sabemos que o momento do dipolo faz um ângulo com o campo elétrico . Então, podemos escrever:
onde é a direção de e é perpendicular a .

Passo 6

Voltando à expressão da energia potencial total:
U = -q E cdot r+ + q E cdot r-
Como U = -q E cdot d , podemos reescrever:
U = -p cdot E
Como , substituímos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar p cdot E = p E cos phi :
U = -p E cos phi
Portanto, a energia potencial fica:

Resposta

A energia potencial da interação do dipolo com o campo elétrico é dada por:
U = -p E cos phi = -p cdot E
onde .

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