(D) Um disco circular isolante de raio R possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por sigma(r)=sigma0(R / r), onde sigma0 é uma constante positiva e r é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco em um ponto ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância z do seu centro. Sugestão: Divida o disco em aneis e utilize o resultado do problema anterior.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular isolante com raio e uma carga distribuída de forma não uniforme sobre ele. A densidade superficial de carga é dada por , onde é uma constante positiva e é a distância do ponto ao eixo do disco. Queremos calcular o potencial elétrico gerado por esse disco em um ponto que está ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância do centro. Para resolver isso, vamos dividir o disco em anéis infinitesimais e somar o potencial gerado por cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis com raio dQ = sigma(r) , dA = sigma0 ( Rr ) times 2pi r , dr = 2pi sigma0 R , dr e espessura . A área de um anel é . Como a densidade de carga é , a carga nesse anel será:
Note que o no denominador e no numerador se cancelam.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico dV = 14pi varepsilon0 times dQraizz^2 + r^2 produzido por esse anel no ponto a uma distância dV = 14pi varepsilon0 times 2pi sigma0 R , drraizz^2 + r^2 = sigma0 R2varepsilon0 times drraizz^2 + r^2 ao longo do eixo. A fórmula para o potencial devido a um anel de carga é:
Substituindo que encontramos:

Passo 4

Para encontrar o potencial total V = integral0^R dV = sigma0 R2varepsilon0 integral0^R drraizz^2 + r^2 produzido pelo disco, precisamos integrar ln(r + raizz^2 + r^2) de até :
A integral é uma integral padrão que resulta em:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
V = sigma0 R2varepsilon0 [ ln(R + raizz^2 + R^2) - ln(0 + raizz^2 + 0^2) ]
Simplificando:
V = sigma0 R2varepsilon0 [ ln(R + raizR^2 + z^2) - ln(z) ]

Resposta

O potencial elétrico produzido pelo disco no ponto a uma distância V = sigma0 R2varepsilon0 [ ln(R + raizR^2 + z^2z) ] ao longo de seu eixo de simetria é:

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