(D) Um disco circular isolante de raio
possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco em um ponto ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância
do seu centro. Sugestão: Divida o disco em aneis e utilize o resultado do problema anterior.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco em um ponto ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco circular isolante com raio
e uma carga distribuída de forma não uniforme sobre ele. A densidade superficial de carga é dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância do ponto ao eixo do disco. Queremos calcular o potencial elétrico gerado por esse disco em um ponto que está ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância
do centro. Para resolver isso, vamos dividir o disco em anéis infinitesimais e somar o potencial gerado por cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis com raio
e espessura
. A área de um anel é
. Como a densidade de carga é
, a carga nesse anel será:
Note que o
no denominador e no numerador se cancelam.
Passo 3
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
produzido por esse anel no ponto a uma distância
ao longo do eixo. A fórmula para o potencial devido a um anel de carga é:
Substituindo
que encontramos:
Passo 4
Para encontrar o potencial total
produzido pelo disco, precisamos integrar
de
até
:
A integral
é uma integral padrão que resulta em:
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
O potencial elétrico produzido pelo disco no ponto a uma distância
ao longo de seu eixo de simetria é: