(a) Se é contínua, mostre que

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua e precisamos mostrar que as integrais de e no intervalo de a são iguais. Para resolver isso, vamos utilizar uma técnica de substituição de variável em integrais, que nos ajuda a simplificar e comparar as duas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral . Para facilitar a comparação com , vamos fazer uma substituição de variável. Vamos definir .

Passo 3

Com essa substituição, precisamos ajustar os limites de integração e a diferencial :
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Derivando , temos

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
O sinal negativo na diferencial inverte os limites de integração:

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica , a integral fica:

Passo 6

Observamos que a variável de integração é apenas uma variável dummy, ou seja, podemos renomeá-la para sem alterar o valor da integral:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
38.
Calcule:
Calcule os quadrados: