(a) Se
é contínua, mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua
e precisamos mostrar que as integrais de
e
no intervalo de
a
são iguais. Para resolver isso, vamos utilizar uma técnica de substituição de variável em integrais, que nos ajuda a simplificar e comparar as duas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral
. Para facilitar a comparação com
, vamos fazer uma substituição de variável. Vamos definir
.
Passo 3
Com essa substituição, precisamos ajustar os limites de integração e a diferencial
:
- Quando
, - Quando
, - Derivando
, temos
Passo 4
Agora, substituímos na integral:
O sinal negativo na diferencial
inverte os limites de integração:
Passo 5
Usando a identidade trigonométrica
, a integral fica:
Passo 6
Observamos que a variável de integração
é apenas uma variável dummy, ou seja, podemos renomeá-la para
sem alterar o valor da integral:
Resposta
Portanto, mostramos que: