Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável na origem . Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis, além de entender como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua na origem. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Então, calculamos o limite de quando se aproxima de :
Passo 3
Vamos analisar esse limite. À medida que se aproxima de , o denominador se aproxima de zero, tornando a fração cada vez maior. Portanto, o limite tende ao infinito:
Passo 4
Agora, comparamos esse limite com o valor da função na origem, que é . Como o limite tende ao infinito e não ao valor da função na origem, a função não é contínua em .
Passo 5
Sabemos que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como já verificamos que não é contínua na origem, podemos concluir imediatamente que ela não é diferenciável nesse ponto.