Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
38. integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. Precisamos calcular a integral usando o método da substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, o que vai facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que vamos substituir. Observando a potência de 2, vemos que temos u = x^2 + 1 . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir o diferencial . Calculamos a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du2 em termos de . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 2:

Passo 5

Agora, substituímos integral 2^x^2+1 , x , dx = integral 2^u cdot du2 = 12 integral 2^u , du e na integral original:

Passo 6

Vamos resolver a integral integral a^u , du = a^uln a + C . Sabemos que a integral de integral 2^u , du = 2^uln 2 + C em relação a 12 integral 2^u , du = 12 cdot 2^uln 2 + C = 2^u2 ln 2 + C é:
Aplicando isso para :
Então:

Passo 7

Por fim, substituímos 2^u2 ln 2 + C = 2^x^2+12 ln 2 + C de volta para 2 cdot 2^x^22 ln 2 + C = 2^x^2ln 2 + C :
Podemos simplificar como , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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