Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
38.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. Precisamos calcular a integral usando o método da substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, o que vai facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que vamos substituir. Observando a potência de 2, vemos que temos . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial . Calculamos a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 2:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Sabemos que a integral de em relação a é:
Aplicando isso para :
Então:

Passo 7

Por fim, substituímos de volta para :
Podemos simplificar como , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
6.
Esboce a região delimitada pelas curvas . Calcule a área dessa região.
Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
(a) Se é contínua, mostre que