(F.M. Itajubá-MG) À mesma temperatura, uma barra metálica dobrada em forma de quadrado tem diagonal igual ao diâmetro de um anel também metálico. Que condição devem satisfazer seus coeficientes de dilatação linear para que, aquecendo ambos de De, o lado do quadrado fique igual ao diâmetro do anel?

Passo 1

Vamos entender o enunciado! Temos duas peças metálicas na mesma temperatura inicial: uma barra dobrada em forma de quadrado e um anel. A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do anel. Quando aquecemos ambos por uma variação de temperatura , queremos que o lado do quadrado se torne igual ao diâmetro do anel. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação linear, que nos ajuda a entender como materiais mudam de tamanho com a temperatura. Precisamos das fórmulas de dilatação linear para comparar as expansões das duas peças.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a relação inicial entre o quadrado e o anel. Se o quadrado tem lado d = l raiz2 , sua diagonal D = l raiz2 pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Essa diagonal é igual ao diâmetro do anel:

Passo 3

Agora, vamos considerar a dilatação linear. A fórmula para a dilatação de um comprimento é:
L = L0 cdot (1 + alpha De
Onde:
  • é o comprimento final,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de dilatação linear,
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

Vamos aplicar a dilatação ao quadrado e ao anel separadamente.
Para o quadrado:
  • Cada lado vai se dilatar para .
  • A diagonal após a dilatação será .
Para o anel:
  • O diâmetro vai se dilatar para .

Passo 5

Queremos que, após a dilatação, o lado do quadrado ( l (1 + alphaq De) seja igual ao diâmetro do anel ( l (1 + alphaq De):
Substituindo :

Passo 6

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 1 + alphaq De:
1 + alphaq De
Expandindo o lado direito:

Passo 7

Reorganizando os termos para isolar os coeficientes de dilatação:
alphaq De
Fatorando (alphaq - raiz2 alphaa) De:

Passo 8

Como alphaq - raiz2 alphaa = raiz2 - 1De é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por :

Passo 9

Para que a condição seja satisfeita independentemente de alphaq = raiz2 alphaa , os coeficientes de dilatação devem satisfazer:

Resposta

Os coeficientes de dilatação linear devem satisfazer .

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