Um recipiente de vidro tem capacidade V0=100,000 cm^3 a 0^circ C e contém, a essa temperatura, 98,000 cm^3 de álcool etílico. A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de álcool etílico? (Coeficiente de dilatação linear do vidro =3 cdot 10^-6 ^circ C^-1; Coeficiente de dilatação cúbica do álcool etílico =1.100 cdot 10^-6 ^circ C^-1.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um recipiente de vidro com capacidade de 100,!000 , cm^3 a 0^circ C, mas que já contém 98,!000 , cm^3 de álcool etílico nessa mesma temperatura. Queremos descobrir a que temperatura o álcool vai expandir tanto que o recipiente fique completamente cheio.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Precisaremos das fórmulas de dilatação linear para o vidro e de dilatação volumétrica para o álcool.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação do vidro. A dilatação linear descreve como o tamanho de um material muda em uma direção quando a temperatura varia. A fórmula é:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento.
  • L0 é o comprimento inicial.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear.
  • De é a variação de temperatura.
Como estamos lidando com volume, precisamos converter a dilatação linear do vidro para dilatação volumétrica. Para pequenos aumentos de temperatura, a dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes a dilatação linear para materiais sólidos isotrópicos (que se expandem igualmente em todas as direções). Então:
De

Passo 3

Agora, vamos olhar para o álcool etílico. Para líquidos, usamos a dilatação volumétrica diretamente, que é dada por:
Deááá
Onde:
  • Deá é a variação no volume do álcool.
  • betaálcoolá é o coeficiente de dilatação volumétrica do álcool.
  • Válcool0á é o volume inicial do álcool.
  • De é a variação de temperatura.

Passo 4

O recipiente tem a capacidade de 100,!000 , cm^3 a 0^circ C. Como a temperatura muda, tanto o volume do vidro quanto o do álcool mudam. Queremos que, na nova temperatura, o volume do álcool preenchido seja igual à nova capacidade do recipiente.
Então, temos:
Válcool0 + Deáá
Substituindo as fórmulas de dilatação, ficamos com:
Válcool0 + betaálcool cdot Válcool0 cdot Deááá

Passo 5

Vamos organizar a equação para resolver De:
Válcool0 + betaálcool cdot Válcool0 cdot Deááá
Subtraindo Válcool0á de ambos os lados:
betaálcool cdot Válcool0 cdot Deááá
Agora, isolamos De:
(betaálcool cdot Válcool0 - 3 cdot alphavidro cdot V0) cdot Deááá
Finalmente:
Deááá

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
  • V0 = 100,!000 , cm^3
  • Válcool0 = 98,!000 , cm^3á
  • betaálcool = 1.100 times 10^-6 , ^circC^-1á
  • alphavidro = 3 times 10^-6 , ^circC^-1
Substituindo:
De
Calculando o numerador:
100,!000 - 98,!000 = 2,!000 , cm^3
Calculando o denominador:
1.100 times 10^-6 times 98,!000 = 0.1078
3 times 10^-6 times 100,!000 = 0.3
Então:
De

Passo 7

Calculando De:
De
Esse resultado negativo indica que, para que o álcool encha completamente o recipiente, a temperatura precisaria diminuir em aproximadamente 10,!410 , ^circC. Como isso não é fisicamente viável (temperaturas negativas extremamente altas), concluímos que, não é possível que o álcool expanda o suficiente para encher o recipiente apenas aumentando a temperatura.

Resposta

Não é possível que o álcool etílico expanda o suficiente para encher completamente o recipiente ao aumentar a temperatura.

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