Um recipiente de vidro tem capacidade
a
e contém, a essa temperatura,
de álcool etílico. A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de álcool etílico? (Coeficiente de dilatação linear do vidro
; Coeficiente de dilatação cúbica do álcool etílico
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um recipiente de vidro com capacidade de
a
, mas que já contém
de álcool etílico nessa mesma temperatura. Queremos descobrir a que temperatura o álcool vai expandir tanto que o recipiente fique completamente cheio.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Precisaremos das fórmulas de dilatação linear para o vidro e de dilatação volumétrica para o álcool.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a dilatação do vidro. A dilatação linear descreve como o tamanho de um material muda em uma direção quando a temperatura varia. A fórmula é:
Onde:
-
é a variação no comprimento. -
é o comprimento inicial. -
é o coeficiente de dilatação linear. -
é a variação de temperatura.
Como estamos lidando com volume, precisamos converter a dilatação linear do vidro para dilatação volumétrica. Para pequenos aumentos de temperatura, a dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes a dilatação linear para materiais sólidos isotrópicos (que se expandem igualmente em todas as direções). Então:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o álcool etílico. Para líquidos, usamos a dilatação volumétrica diretamente, que é dada por:
Onde:
-
é a variação no volume do álcool. -
é o coeficiente de dilatação volumétrica do álcool. -
é o volume inicial do álcool. -
é a variação de temperatura.
Passo 4
O recipiente tem a capacidade de
a
. Como a temperatura muda, tanto o volume do vidro quanto o do álcool mudam. Queremos que, na nova temperatura, o volume do álcool preenchido seja igual à nova capacidade do recipiente.
Então, temos:
Substituindo as fórmulas de dilatação, ficamos com:
Passo 5
Vamos organizar a equação para resolver
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Finalmente:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Substituindo:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 7
Calculando
:
Esse resultado negativo indica que, para que o álcool encha completamente o recipiente, a temperatura precisaria diminuir em aproximadamente
. Como isso não é fisicamente viável (temperaturas negativas extremamente altas), concluímos que, não é possível que o álcool expanda o suficiente para encher o recipiente apenas aumentando a temperatura.
Resposta
Não é possível que o álcool etílico expanda o suficiente para encher completamente o recipiente ao aumentar a temperatura.