Um recipiente de vidro tem capacidade a e contém, a essa temperatura, de álcool etílico. A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de álcool etílico? (Coeficiente de dilatação linear do vidro ; Coeficiente de dilatação cúbica do álcool etílico .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um recipiente de vidro com capacidade de a , mas que já contém de álcool etílico nessa mesma temperatura. Queremos descobrir a que temperatura o álcool vai expandir tanto que o recipiente fique completamente cheio.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Precisaremos das fórmulas de dilatação linear para o vidro e de dilatação volumétrica para o álcool.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação do vidro. A dilatação linear descreve como o tamanho de um material muda em uma direção quando a temperatura varia. A fórmula é:
Onde:
  • é a variação no comprimento.
  • é o comprimento inicial.
  • é o coeficiente de dilatação linear.
  • é a variação de temperatura.
Como estamos lidando com volume, precisamos converter a dilatação linear do vidro para dilatação volumétrica. Para pequenos aumentos de temperatura, a dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes a dilatação linear para materiais sólidos isotrópicos (que se expandem igualmente em todas as direções). Então:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o álcool etílico. Para líquidos, usamos a dilatação volumétrica diretamente, que é dada por:
ááá
Onde:
  • á é a variação no volume do álcool.
  • á é o coeficiente de dilatação volumétrica do álcool.
  • á é o volume inicial do álcool.
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

O recipiente tem a capacidade de a . Como a temperatura muda, tanto o volume do vidro quanto o do álcool mudam. Queremos que, na nova temperatura, o volume do álcool preenchido seja igual à nova capacidade do recipiente.
Então, temos:
áá
Substituindo as fórmulas de dilatação, ficamos com:
ááá

Passo 5

Vamos organizar a equação para resolver :
ááá
Subtraindo á de ambos os lados:
ááá
Agora, isolamos :
ááá
Finalmente:
ááá

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
  • á
  • á
Substituindo:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 7

Calculando :
Esse resultado negativo indica que, para que o álcool encha completamente o recipiente, a temperatura precisaria diminuir em aproximadamente . Como isso não é fisicamente viável (temperaturas negativas extremamente altas), concluímos que, não é possível que o álcool expanda o suficiente para encher o recipiente apenas aumentando a temperatura.

Resposta

Não é possível que o álcool etílico expanda o suficiente para encher completamente o recipiente ao aumentar a temperatura.

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