Seja F: R^2 -> R uma função dada por
F(x, y) = y^6 - 12 x^4 y^2 - 5 x y^2 - 12 x y^3 - x^2
Determine:
dF/dy avaliado em (-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada de uma função em relação a no ponto . A matéria que estamos usando aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente, as derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois substituir os valores de e no resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a , denotada por ou , é a taxa de variação de quando mudamos , mantendo constante.
Agora, vamos calcular para a função dada:

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função em relação a :
  1. : A derivada de em relação a é .
  2. : Aqui, é uma constante. A derivada de é , então fica .
  3. : Semelhante ao termo anterior. Derivando , temos , e multiplicando pelas constantes, fica .
  4. : Derivando , temos , então .
  5. : Essa expressão não depende de , então sua derivada em relação a é .
Agora, juntando tudo, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada parcial, vamos substituir os valores de e :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Resposta

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Seja f(x) = x^7/35 - x^5/12 - x^3/8 + 3. Determine:
f'''(1).
Se f^(n)(0) = (n + 1) ! para todo n in N, encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência.
Seja f(x) = x^7/35 - x^5/12 - x^3/8 + 3. Determine:
f'(1)
Seja F: R^2 -> R uma função dada por
F(x, y) = y^6 - 12 x^4 y^2 - 5 x y^2 - 12 x y^3 - x^2
Determine:
d F/d x |_(1,-1)