Resolva integral0^infty x(x^2+1)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente em integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função dentro da integral: . Notamos que o denominador é uma expressão quadrática elevada ao quadrado, e o numerador é um polinômio de primeiro grau. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir:
u = x^2 + 1
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir du2 = x , dx :
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, substituímos integral0^infty x(x^2+1)^2 dx = integral 1u^2 cdot du2 e 12 integral 1u^2 du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-2 du = -u^-1 + C em relação a 12 ( -1u ) + C = -12u + C . Sabemos que:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Voltando à variável original -12(x^2 + 1) + C , lembramos que . Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a infinito. Então, calculamos:
limb to infty [ -12(x^2 + 1) ]0^b
Isso fica:
limb to infty ( -12(b^2 + 1) ) - ( -12(0^2 + 1) )
Simplificando:
0 - ( -12 ) = 12

Resposta

O valor da integral é .

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