Resolva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente em integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função dentro da integral: . Notamos que o denominador é uma expressão quadrática elevada ao quadrado, e o numerador é um polinômio de primeiro grau. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . Sabemos que:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Voltando à variável original , lembramos que . Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a infinito. Então, calculamos:
Isso fica:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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