Resolva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente em integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função dentro da integral:
. Notamos que o denominador é uma expressão quadrática elevada ao quadrado, e o numerador é um polinômio de primeiro grau. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Voltando à variável original
, lembramos que
. Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a infinito. Então, calculamos:
Isso fica:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.
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.