Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! A questão nos dá a derivada de uma função, que é
. Nosso objetivo é encontrar a função original
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração por substituição. Vamos precisar integrar a expressão dada para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que integrar a derivada
nos dá a função original
. Assim, temos:
Aqui, vamos precisar encontrar a integral de
em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. A ideia é identificar uma parte da função que, ao ser derivada, aparece na integral. Observamos que no nosso caso, a parte
dentro do expoente é um bom candidato. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Perfeito! Isso simplifica muito a nossa integral.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Isso ficou muito mais simples, pois a integral de
em relação a
é bem conhecida.
Passo 5
Integrando
em relação a
, temos:
Onde
é a constante de integração, que sempre adicionamos quando encontramos uma primitiva.
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
substituindo
de volta na expressão:
Então, encontramos a função original
.
Resposta
A função original é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .
Se
, encontre:
Enuncie cada regra da derivação em símbolos:
A Regra da Diferença
A Regra da Diferença