Se senh(x) = -1/4, encontre:
tanh x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que e pede para encontrarmos o valor de tanh x. Aqui estamos lidando com funções hiperbólicas, especificamente o seno hiperbólico ( ) e a tangente hiperbólica ( ). Para resolver isso, vamos precisar lembrar das relações entre essas funções e como calcular uma a partir da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente hiperbólica é definida como o seno hiperbólico dividido pelo cosseno hiperbólico, ou seja:
Então, para encontrar tanh x, precisamos descobrir o valor de .

Passo 3

Para isso, usamos uma identidade fundamental das funções hiperbólicas que relaciona e :
Essa fórmula nos permite encontrar sabendo .

Passo 4

Sabemos que . Vamos calcular :
Agora, aplicando a identidade:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 5

Agora que temos , podemos calcular tanh x usando a definição que mencionamos no Passo 2:
Para deixar mais bonito, racionalizamos o denominador:

Resposta

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