f'(x) = 100 cos^2(x) / (10 + x^2) nimo absoluto em 5,46 um número imo nem mínimo local ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Pelo enunciado, temos a derivada de uma função dada por:
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas para encontrar os pontos de mínimo ou máximo de uma função. Precisaremos entender como a derivada nos ajuda a identificar esses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe, pois esses pontos são candidatos a serem mínimos ou máximos locais.
Vamos igualar a derivada a zero:
O numerador precisa ser zero para que a fração seja zero. Então:

Passo 3

Agora, resolvemos . Sabemos que o cosseno de x é zero nos pontos:
é
Isso significa que os pontos críticos ocorrem em múltiplos ímpares de pi / 2, como , e assim por diante.

Passo 4

Para determinar se esses pontos são mínimos locais, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada em torno desses pontos. No entanto, dado que a função original não foi fornecida, vamos focar apenas nos pontos onde a derivada é zero.

Passo 5

O enunciado menciona um ponto específico em . Vamos verificar se esse ponto corresponde a um dos pontos críticos que encontramos.
Calculando:
Isso sugere que está próximo de , já que . Portanto, não é exatamente um dos pontos onde , mas está próximo de um ponto de máximo local.

Resposta

Após a análise, concluímos que não é um ponto de mínimo absoluto da função, mas está próximo de um ponto de máximo local. Os mínimos absolutos ocorrem nos valores de x onde , ou seja, em para inteiro k.

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