Calcule o valor de cada inegral seguinte:
d=integral0^1(2 w+2)(w^3-w) d w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de integrais, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar expandir os termos, simplificar a expressão e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Multiplicando (2w + 2)(w^3 - w) = 2w cdot w^3 + 2w cdot (-w) + 2 cdot w^3 + 2 cdot (-w) por 2w cdot w^3 = 2w^4 :
2w cdot (-w) = -2w^2
Simplificando cada termo:
2 cdot w^3 = 2w^3
2 cdot (-w) = -2w
2w^4 - 2w^2 + 2w^3 - 2w
Então, a expressão expandida fica:

Passo 3

Agora, reorganizamos os termos em ordem decrescente dos expoentes para facilitar a integração:
2w^4 + 2w^3 - 2w^2 - 2w

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo separadamente em relação a integral 2w^4 , dw = 2 cdot w^55 = 25w^5 :
integral 2w^3 , dw = 2 cdot w^44 = 24w^4 = 12w^4
integral (-2w^2) , dw = -2 cdot w^33 = -23w^3
integral (-2w) , dw = -2 cdot w^22 = -w^2

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais:
25w^5 + 12w^4 - 23w^3 - w^2 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, não precisamos da constante de integração .

Passo 6

Substituímos os limites de integração na expressão integrada:
Para 25(1)^5 + 12(1)^4 - 23(1)^3 - (1)^2 = 25 + 12 - 23 - 1 :
25(0)^5 + 12(0)^4 - 23(0)^3 - (0)^2 = 0 + 0 - 0 - 0 = 0
Para :

Passo 7

Calculamos a diferença entre os valores nos limites:
( 25 + 12 - 23 - 1 ) - 0 = 25 + 12 - 23 - 1
Para somar essas frações, encontramos o denominador comum, que é 30:
25 = 1230, 12 = 1530, 23 = 2030, 1 = 3030
Substituindo:
1230 + 1530 - 2030 - 3030 = 12 + 15 - 20 - 3030 = -2330

Resposta

O valor da integral é .

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