f'(x) = (x - 1) / (2 * x * raiz(x)). Ponto crítico em x = 1, de mínimo absoluto, pois a função é crescente em x ≥ 1 e decrescente em x <= 1. Ela não tem máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a derivada de uma função, que é . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles são mínimos ou máximos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Aqui, a derivada é . Vamos igualar a zero:
O numerador precisa ser zero para toda a fração ser zero, então:
Portanto, x = 1 é um ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos analisar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. Para isso, observamos o sinal da derivada antes e depois de .
  • Para : Vamos escolher um valor, digamos :
    Como a derivada é negativa, a função está decrescendo antes de .
  • Para : Vamos escolher :
    Aqui, a derivada é positiva, então a função está crescendo após .

Passo 4

Como a função está decrescendo antes de e crescendo depois de , isso significa que é um ponto de mínimo. Além disso, como a função continua crescendo para e decrescendo para , não há nenhum ponto onde a função atinja um máximo.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um mínimo absoluto. A função está decrescendo para e crescendo para . Portanto, não existe um ponto de máximo.

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