O trinômio
tem raízes complexas, portanto nunca se anula, sendo sempre negativo.
não tem máximo nem mínimo, é sempre decrescente, passando de
em
, pois
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá dizendo. A gente tem a derivada de uma função,
. A matéria aqui envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas e análise do comportamento das funções com base na derivada. Vamos precisar entender sobre raízes de polinômios, sinais da derivada para determinar se a função é crescente ou decrescente, e também calcular limites para ver como a função se comporta quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a derivada
. O polinômio dentro dos parênteses é
. Para saber se essa derivada é positiva ou negativa, precisamos ver se o polinômio
tem raízes reais.
Passo 3
Para descobrir se
tem raízes reais, olhamos o discriminante da fórmula de Bhaskara. O discriminante
é dado por:
Aqui,
,
, e
. Calculando:
Como o discriminante é negativo (
), isso significa que o polinômio
não tem raízes reais, ou seja, suas raízes são complexas.
Passo 4
Já que
não tem raízes reais, o polinômio não se anula para nenhum valor real de
. Agora, vamos ver o sinal desse polinômio para determinar o sinal da derivada
.
Como o coeficiente de
é positivo (
) e sabendo que o polinômio não se anula, isso significa que
é sempre positivo para qualquer
real.
Passo 5
Agora, olhando para a derivada
, sabemos que
é sempre positivo. Multiplicando por
, a derivada
será sempre negativa:
Passo 6
Se a derivada
é sempre negativa, isso significa que a função
é sempre decrescente no seu domínio. Em outras palavras, conforme
aumenta,
diminui continuamente.
Passo 7
Como
é sempre decrescente e não tem pontos onde a derivada se anula (já que
nunca é zero), a função não possui máximos nem mínimos locais.
Passo 8
Vamos analisar os limites para entender o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito:
- Quando
vai para menos infinito ( ):
- Quando
vai para mais infinito ( ):
Isso mostra que a função cresce sem limite quando
vai para menos infinito e decresce sem limite quando
vai para mais infinito.
Resposta
Portanto, a função
é sempre decrescente, não possui pontos de máximo ou mínimo, e seus limites são
quando
vai para menos infinito e
quando
vai para mais infinito.
Exercícios relacionados
Observe que
para
e
. Ponto crítico em
, nem de máximo nem de mínimo. A função é sempre crescente. Faça seu gráfico.