O trinômio f^prime(x)=-3(x^2-4 x+5) tem raízes complexas, portanto nunca se anula, sendo sempre negativo. f(x) não tem máximo nem mínimo, é sempre decrescente, passando de +infty em x=-infty a-infty em+infty, pois
lim x -infty f(x)=+infty e lim x +infty f(x)=-infty

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá dizendo. A gente tem a derivada de uma função, . A matéria aqui envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas e análise do comportamento das funções com base na derivada. Vamos precisar entender sobre raízes de polinômios, sinais da derivada para determinar se a função é crescente ou decrescente, e também calcular limites para ver como a função se comporta quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a derivada . O polinômio dentro dos parênteses é . Para saber se essa derivada é positiva ou negativa, precisamos ver se o polinômio tem raízes reais.

Passo 3

Para descobrir se De tem raízes reais, olhamos o discriminante da fórmula de Bhaskara. O discriminante De é dado por:
Aqui, , , e . Calculando:
Como o discriminante é negativo ( ), isso significa que o polinômio não tem raízes reais, ou seja, suas raízes são complexas.

Passo 4

Já que não tem raízes reais, o polinômio não se anula para nenhum valor real de . Agora, vamos ver o sinal desse polinômio para determinar o sinal da derivada .
Como o coeficiente de é positivo ( ) e sabendo que o polinômio não se anula, isso significa que é sempre positivo para qualquer real.

Passo 5

Agora, olhando para a derivada f'(x) = -3 times (positivo) = negativo , sabemos que é sempre positivo. Multiplicando por , a derivada será sempre negativa:

Passo 6

Se a derivada é sempre negativa, isso significa que a função é sempre decrescente no seu domínio. Em outras palavras, conforme aumenta, diminui continuamente.

Passo 7

Como é sempre decrescente e não tem pontos onde a derivada se anula (já que nunca é zero), a função não possui máximos nem mínimos locais.

Passo 8

Vamos analisar os limites para entender o comportamento da função quando limx -infty f(x) = +infty vai para mais ou menos infinito:
  • Quando limx +infty f(x) = -infty vai para menos infinito ( ):
  • Quando vai para mais infinito ( ):
Isso mostra que a função cresce sem limite quando vai para menos infinito e decresce sem limite quando vai para mais infinito.

Resposta

Portanto, a função é sempre decrescente, não possui pontos de máximo ou mínimo, e seus limites são quando vai para menos infinito e quando vai para mais infinito.

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