Observe que f'(x) = 3(x-1)^{2} > 0 para x != 1 e f'(1) = 0. Ponto crítico em x = 1, nem de máximo nem de mínimo. A função é sempre crescente. Faça seu gráfico.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos a derivada da função , que é . Isso nos indica que em , a derivada é igual a zero ( ), o que é um ponto crítico. Além disso, para qualquer outro valor de diferente de 1, a derivada é positiva ( ). O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de derivadas, pontos críticos e o comportamento das funções com base na sua derivada.

Passo 2

Vamos analisar a derivada . Sabemos que um quadrado é sempre positivo ou zero. Então, para todo . Multiplicando por 3, que é positivo, obtemos .

Passo 3

Como para todo , isso significa que a função está sempre aumentando ou, no mínimo, permanece constante em determinados pontos. Porém, observamos que . Isso significa que em , a função tem uma inclinação horizontal, mas como a derivada não muda de sinal em torno desse ponto (fica sempre positiva), não �� um ponto de máximo nem de mínimo.

Passo 4

Com base nisso, sabemos que a função é sempre crescente. Mesmo em , onde a derivada é zero, a função não diminui, apenas temporariamente não aumenta.

Passo 5

Para fazer o gráfico de , precisamos de mais informações, como um ponto específico ou a expressão completa da função. Mas, com base no que sabemos:
  • A função é sempre crescente.
  • Tem um ponto crítico em , mas sem ser máximo ou mínimo.
Podemos esboçar o gráfico como uma curva que continua subindo, suavemente passando por sem alterar sua tendência de crescimento.

Resposta

O gráfico da função é uma curva sempre crescente, passando por com uma inclinação horizontal nesse ponto, mas sem apresentar máximos ou mínimos.

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