Se f: R -> R é uma função par tal que
f(x+y) = f(x) f(y), x, y em R
e f(x) != 0, x em R, deduza que f(x)^2 = 1, x em R.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função par que satisfaz a relação para todo , e também diz que para todo . Nosso objetivo é mostrar que para todo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções pares e propriedades de funções que multiplicam assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função é par se para todo . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos analisar a relação . Essa é uma propriedade característica das funções exponenciais. Porém, precisamos combinar isso com o fato de que é par.

Passo 4

Vamos substituir por na equação :
Isso simplifica para:

Passo 5

Sabemos que é par, então . Substituindo isso na equação acima:

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor de . Voltando à relação , se colocarmos , temos:
Como , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Agora que sabemos que , voltamos à equação :

Resposta

Para todo , temos que .

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