Decida se a função
dada por
é bijetora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função
definida por
é bijetora. Para isso, vamos lembrar que uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio). Vamos passo a passo analisar isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio e o contradomínio da função. O domínio é
e o contradomínio é
. Precisamos garantir que para todo
no domínio, a expressão dentro da raiz quadrada, ou seja,
, seja não negativa, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo nos números reais.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos analisar
.
Para isso, precisamos considerar os valores de
que fazem com que as expressões dentro dos valores absolutos mudem de sinal. Isso acontece em
e
.
Mas como nosso domínio é
, vamos dividir em intervalos onde as expressões se comportam de forma consistente:
-
Quando
: -
-
Quando
: -
Passo 4
Vamos calcular
em cada intervalo:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a expressão dentro da raiz é não negativa em cada intervalo:
-
Para
: Sempre válido. -
Para
: Comoestá dentro do nosso domínio, também é válido.
Passo 6
Agora que garantimos que a função está bem definida em todo o domínio, vamos verificar a injetividade e a sobrejetividade.
Primeiro, a injetividade: queremos ver se cada
no domínio corresponde a um único
.
Observando as expressões:
-
Para
, . Ou seja, todos os mapeiam para . -
Para
, . Aqui, cada valor de dá um valor diferente de .
No entanto, para
, todos esses
resultam no mesmo
, o que viola a injetividade, pois diferentes
mapeiam para o mesmo
.
Passo 7
Como a função não é injetora, ela já não pode ser bijetora, pois bijetividade requer que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Resposta
A função
definida em
para
não é bijetora, pois não é injetora.
Exercícios relacionados
Se
é uma função par tal que
e
, deduza que
.
Dê os domínios das funções
:
e
Dê os domínios das funções
:
e
Dê os domínios das funções
:
e