Decida se a função f: (-infinito, 1/2] -> [0, +infinito) dada por f(x) = raiz(|x - 1| - |x|) é bijetora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função definida por é bijetora. Para isso, vamos lembrar que uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio). Vamos passo a passo analisar isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio e o contradomínio da função. O domínio é e o contradomínio é . Precisamos garantir que para todo no domínio, a expressão dentro da raiz quadrada, ou seja, , seja não negativa, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo nos números reais.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos analisar .
Para isso, precisamos considerar os valores de que fazem com que as expressões dentro dos valores absolutos mudem de sinal. Isso acontece em e .
Mas como nosso domínio é , vamos dividir em intervalos onde as expressões se comportam de forma consistente:
  1. Quando :
  2. Quando :

Passo 4

Vamos calcular em cada intervalo:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Agora, vamos verificar se a expressão dentro da raiz é não negativa em cada intervalo:
  1. Para :
    Sempre válido.
  2. Para :
    Como está dentro do nosso domínio, também é válido.

Passo 6

Agora que garantimos que a função está bem definida em todo o domínio, vamos verificar a injetividade e a sobrejetividade.
Primeiro, a injetividade: queremos ver se cada no domínio corresponde a um único .
Observando as expressões:
  • Para , . Ou seja, todos os mapeiam para .
  • Para , . Aqui, cada valor de dá um valor diferente de .
No entanto, para , todos esses resultam no mesmo , o que viola a injetividade, pois diferentes mapeiam para o mesmo .

Passo 7

Como a função não é injetora, ela já não pode ser bijetora, pois bijetividade requer que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Resposta

A função definida em para não é bijetora, pois não é injetora.

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Se f: R -> R é uma função par tal que
f(x+y) = f(x) f(y), x, y em R
e f(x) != 0, x em R, deduza que f(x)^2 = 1, x em R.
Dê os domínios das funções f + g : f(x) = x e g(x) = x^2 - 1
Dê os domínios das funções f + g : f(x) = x e g(x) = 1 / raiz(x)
Dê os domínios das funções f + g : f(x) = { 1 se x em Q; -1 se x não em Q } e g(x) = -1, se x é um número racional; 1, se x não é um número racional