f) sumn=1^infty 4^n+27^n-1
Dica: Ajuste os expoentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumn=1^infty 4^n+27^n-1. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, e para resolver isso, vamos precisar ajustar os expoentes para colocarmos a série em uma forma que a gente entenda melhor e possa aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os expoentes na fração 4^n+27^n-1. Podemos reescrever isso separando os termos com expoentes:
4^n+27^n-1 = 4^n cdot 4^27^n cdot 7^-1 = 16 cdot 4^n7^n7 = 16 cdot 7 cdot ( 47 )^n = 112 cdot ( 47 )^n

Passo 3

Agora, a série fica:
sumn=1^infty 112 cdot ( 47 )^n
Isso já está na forma de uma série geométrica, que é algo do tipo sumn=1^infty a cdot r^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 4

Para somar uma série geométrica infinita, temos que a razão |r| deve ser menor que 1. Aqui, r = 47, que é menor que 1, então podemos aplicar a fórmula da soma:
S = a cdot r1 - r
onde a é o primeiro termo da série.

Passo 5

Identificando os valores na nossa série:
  • a = 112
  • r = 47
Substituindo na fórmula:
S = 112 cdot 471 - 47 = 112 cdot 4737 = 112 cdot 43 = 4483

Resposta

A soma da série é 4483.

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