Seja a curva no plano definida pelas equações , para . Seja a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva em torno do eixo dos .
Escreva uma parametrização para e calcule o elemento de área orientado .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma curva no plano definida por e , com variando de 1 até . Queremos girar essa curva em torno do eixo para formar uma superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície de revolução e como calcular o elemento de área orientado .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície de revolução . Quando giramos uma curva em torno do eixo , usamos um ângulo para representar a rotação. A curva original está no plano , então podemos expressar as coordenadas e em termos de e .
Passo 3
A curva é dada por . Vamos usar como uma das nossas variáveis de parâmetro, então varia de 1 a . O ângulo varia de a para completar a rotação completa.
Passo 4
A parametrização da superfície em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui, varia de 1 a e varia de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos calcular o elemento de área orientado . Para isso, precisamos encontrar os vetores tangentes e derivando a parametrização em relação a e , respectivamente.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
Passo 7
O elemento de área orientado é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes: