Seja C a curva no plano x z definida pelas equações z = ln(x), y = 0, para 1 <= x <= e. Seja X a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva C em torno do eixo dos z.
Escreva uma parametrização para X e calcule o elemento de área orientado d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma curva no plano definida por e , com variando de 1 até . Queremos girar essa curva em torno do eixo para formar uma superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície de revolução e como calcular o elemento de área orientado .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície de revolução . Quando giramos uma curva em torno do eixo , usamos um ângulo para representar a rotação. A curva original está no plano , então podemos expressar as coordenadas e em termos de e .

Passo 3

A curva é dada por . Vamos usar como uma das nossas variáveis de parâmetro, então varia de 1 a . O ângulo varia de a para completar a rotação completa.

Passo 4

A parametrização da superfície em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui, varia de 1 a e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento de área orientado . Para isso, precisamos encontrar os vetores tangentes e derivando a parametrização em relação a e , respectivamente.

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:

Passo 7

O elemento de área orientado é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
Como , simplificamos:

Passo 9

Portanto, o elemento de área orientado é:

Resposta

A parametrização para a superfície é:
E o elemento de área orientado é:

Exercícios relacionados

Um fluido tem campo de velocidades dado por v(x, y, z) = (1, x, z) (com componentes medidas em cm / segundo). Se S é o hemisfério superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, orientado com o campo normal unitário n apontando para cima, determine quantos centímetros cúbicos do fluido atravessam S por segundo. Resposta: 2 pi / 3.
Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
A porção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 no primeiro octante, acima do cone z = raiz(x^2 + y^2).
18
Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
a) lim x infty(1+kx)^x
f) sumn=1^infty 4^n+27^n-1
Dica: Ajuste os expoentes.