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Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
a) lim x infty(1+kx)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o limite . A gente precisa usar esse resultado para encontrar o limite . Isso envolve conceitos de limites e exponenciais, e vamos precisar entender como manipular expressões desse tipo para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão que queremos encontrar o limite:
(1 + kx)^x
Aqui, temos uma base que se aproxima de 1 quando tende ao infinito, e o expoente é , que está crescendo sem limite. Isso lembra muito a expressão que sabemos que tende a .

Passo 3

Para fazer uma conexão com o limite conhecido, vamos manipular a expressão:
(1 + kx)^x = [(1 + kx)^xk]^k
Aqui, dividimos o expoente por e elevamos tudo a . Agora, vemos que a parte dentro dos colchetes se parece com a expressão do limite conhecido, se pensarmos em como uma nova variável que tende ao infinito quando tende ao infinito.

Passo 4

Aplicando o limite conhecido limx to infty (1 + kx)^x = limx to infty [(1 + 1xk)^xk]^k = e^k , podemos substituir por :
Isso porque tende a quando vai para o infinito, e aqui .

Resposta

O limite é .

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Seja C a curva no plano x z definida pelas equações z = ln(x), y = 0, para 1 <= x <= e. Seja X a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva C em torno do eixo dos z.
Escreva uma parametrização para X e calcule o elemento de área orientado d S.
Um fluido tem campo de velocidades dado por v(x, y, z) = (1, x, z) (com componentes medidas em cm / segundo). Se S é o hemisfério superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, orientado com o campo normal unitário n apontando para cima, determine quantos centímetros cúbicos do fluido atravessam S por segundo. Resposta: 2 pi / 3.
f) sumn=1^infty 4^n+27^n-1
Dica: Ajuste os expoentes.
Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
h) lim x 0 raiz[3 x]1+x