f(t)=54(t+1), 0 <= t <= 4
Determine a função distribuição acumulada de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida no intervalo . A gente precisa encontrar a função distribuição acumulada de , que é basicamente uma função que mostra a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar entender de Cálculo Integral, já que a distribuição acumulada é a integral da função de densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função distribuição acumulada F(t) = integral0^t f(u) , du é calculada integrando a função de densidade F(t) = integral0^t 54(u+1) , du desde o início do intervalo até o ponto . Ou seja:
Nesse caso, nossa . Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de F(t) = 54 integral0^t 1u+1 , du = 54 [ ln(u+1) ]0^t é . Então, aplicando isso:

Passo 4

Vamos calcular os limites da integral:
F(t) = 54 [ ln(t+1) - ln(1) ]
Sabemos que F(t) = 54 ln(t+1) , então simplificando:

Resposta

A função distribuição acumulada de F(t) = 54 ln(t + 1), para 0 <= t <= 4 é:

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