f(theta) = -cosec^2(theta^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função . Basicamente, precisamos trabalhar com essa função utilizando conhecimentos de cálculo, especificamente de derivação de funções trigonométricas compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções como o cosseno, senos e suas variações, além de aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais clara para trabalharmos com a derivada:
Aqui, é a função cosecante, que é o inverso do seno. Ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos uma função , onde .

Passo 4

Vamos identificar as partes da função:
  • Função externa:
  • Função interna:
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa em relação à função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 5

Primeiro, derivamos a função externa em relação a :
Aqui, usamos a derivada de , que é .

Passo 6

Agora, derivamos a função interna em relação a :

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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