Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função
. Basicamente, precisamos trabalhar com essa função utilizando conhecimentos de cálculo, especificamente de derivação de funções trigonométricas compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções como o cosseno, senos e suas variações, além de aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais clara para trabalharmos com a derivada:
Aqui,
é a função cosecante, que é o inverso do seno. Ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos uma função
, onde
.
Passo 4
Vamos identificar as partes da função:
- Função externa:
- Função interna:
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa em relação à função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 5
Primeiro, derivamos a função externa
em relação a
:
Aqui, usamos a derivada de
, que é
.
Passo 6
Agora, derivamos a função interna
em relação a
:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função
em relação a
é: