Se
é contínua para
, a Transformada de Laplace de
é a função
definida por
e o domínio de
é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a Transformada de Laplace da função
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e aplicar na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Note que o expoente tem um sinal negativo, que é importante para a convergência da integral.
Passo 3
No nosso caso, a função
. Então, substituindo na definição, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é uma integral básica. Vamos integrar:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma transformada definida de 0 a infinito, podemos ignorar
.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a infinito:
Vamos calcular isso separadamente para os limites.
Passo 6
Primeiro, calcular quando
tende ao infinito:
Isso porque
tende a zero quando
vai para o infinito, desde que
.
Passo 7
Agora, calcular para
:
Passo 8
Subtraindo os dois valores:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida.
$(g)
$(g)
Calcule.
$(g)
$(g)
- Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos e no primeiro octante.
Use coordenadas esféricas para calcular
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
a)
a)