Se é contínua para , a Transformada de Laplace de é a função definida por
e o domínio de é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a Transformada de Laplace da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e aplicar na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Note que o expoente tem um sinal negativo, que é importante para a convergência da integral.

Passo 3

No nosso caso, a função . Então, substituindo na definição, temos:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de em relação a é uma integral básica. Vamos integrar:
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma transformada definida de 0 a infinito, podemos ignorar .

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a infinito:
Vamos calcular isso separadamente para os limites.

Passo 6

Primeiro, calcular quando tende ao infinito:
Isso porque tende a zero quando vai para o infinito, desde que .

Passo 7

Agora, calcular para :

Passo 8

Subtraindo os dois valores:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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$(g)
Calcule.
$(g)
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Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
a)