Se f(t) é contínua para t >= 0, a Transformada de Laplace de f é a função F definida por
F(s)=integral0^infty f(t) e^s t d t
e o domínio de F é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(a) f(t)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a Transformada de Laplace da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e aplicar na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é definida por:
F(s) = integral0^infty f(t) e^-st dt
Note que o expoente tem um sinal negativo, que é importante para a convergência da integral.

Passo 3

No nosso caso, a função F(s) = integral0^infty 1 cdot e^-st dt . Então, substituindo na definição, temos:
F(s) = integral0^infty e^-st dt
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de integral e^-st dt = -1s e^-st + C em relação a é uma integral básica. Vamos integrar:
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma transformada definida de 0 a infinito, podemos ignorar .

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a infinito:
F(s) = [ -1s e^-st ]0^infty
Vamos calcular isso separadamente para os limites.

Passo 6

Primeiro, calcular quando limt to infty -1s e^-st = 0 tende ao infinito:
Isso porque tende a zero quando vai para o infinito, desde que .

Passo 7

Agora, calcular para -1s e^-s cdot 0 = -1s cdot 1 = -1s :

Passo 8

Subtraindo os dois valores:
F(s) = 0 - ( -1s ) = 1s

Resposta

A Transformada de Laplace da função F(s) = 1s é:

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