Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função . Pelo que entendi, talvez você precise calcular a integral dessa função. Para resolver isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo funções do tipo racional com radicais. Vamos precisar conhecer integrais básicas e a substituição trigonométrica ou hiperbólica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral que queremos resolver:
Essa integral é uma forma padrão que aparece em cálculo. Para resolver, podemos usar uma substituição hiperbólica ou reconhecer que a antiderivada envolve o arco-hiperbólico. Mas vamos fazer passo a passo usando substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que se assemelha à identidade hiperbólica , mas vamos optar por uma substituição trigonométrica para facilitar.
Vamos substituir:
Com isso, temos:
E substituindo na raiz:

Passo 4

Agora, substituindo tudo na integral:
Simplificando:
Sabemos que:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que fizemos , então:
E:
Substituindo na solução da integral:

Resposta

A integral de é:

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Ache a reta tangente à curva no ponto de abscissa 1 . Encontre outro ponto onde essa tangente corta a curva.
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