.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas expressões:
e
O conteúdo envolvido aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções compostas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função que a gente quer derivar. A função
está escrita em termos de
, que por sua vez está em termos de
. Isso significa que
é uma função composta:
.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Então, precisamos primeiro encontrar
e depois
.
Passo 4
Vamos começar encontrando
. A função
é:
Aqui,
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
. Usando a regra do poder, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. A função
é:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra da cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Por fim, podemos simplificar a expressão para deixar a derivada mais elegante:
Ou, fatorando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
onde
.
Exercícios relacionados
Mesmo problema, em
, para a curva
, onde
.
Faça o mesmo, em
, para a curva
, sendo
e
.