.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas expressões:
e
O conteúdo envolvido aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções compostas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que a gente quer derivar. A função está escrita em termos de , que por sua vez está em termos de . Isso significa que é uma função composta: .

Passo 3

Para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Então, precisamos primeiro encontrar e depois .

Passo 4

Vamos começar encontrando . A função é:
Aqui, é tratado como uma constante quando derivamos em relação a . Usando a regra do poder, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar . A função é:
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora que temos e , podemos aplicar a regra da cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Por fim, podemos simplificar a expressão para deixar a derivada mais elegante:
Ou, fatorando:

Resposta

A derivada de em relação a é:
onde .

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.
Mesmo problema, em , para a curva , onde .
Faça o mesmo, em , para a curva , sendo e .