Ache a reta tangente à curva no ponto de abscissa 1 . Encontre outro ponto onde essa tangente corta a curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a reta tangente à curva no ponto onde . Além disso, precisamos encontrar outro ponto onde essa tangente cruza a curva. Para isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar a inclinação da tangente e depois achar a equação da reta. Também vamos resolver uma equação para encontrar o ponto adicional de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Substituindo 1 na equação da curva:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de em relação a nos dá a inclinação da tangente:

Passo 4

Substituímos na derivada para encontrar a inclinação da tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
  • (inclinação)
Substituindo:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar outro ponto onde essa reta tangente cruza a curva . Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos rearranjar todos os termos para um lado:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação cúbica . Sabemos que já é uma solução (ponto de tangência). Vamos fatorar :
Agora, resolvemos :
Já temos , então o outro valor é .

Passo 8

Finalmente, encontramos o valor de quando usando a equação da reta tangente :
Então, o outro ponto de interseção é .

Resposta

A reta tangente à curva no ponto com abscissa 1 é e ela corta a curva novamente no ponto .

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