.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
. O que vamos fazer aqui é calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da Cálculo Diferencial, como a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Vamos precisar identificar as partes da função que se repetem e como elas se combinam para facilitar a derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja,
, a derivada de
em relação a
é dada pela Regra do Produto:
Aqui, vamos identificar
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
separadamente usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, como
.
Para
:
- Identificamos a função externa:
- A função interna:
- Derivada da funç��o externa em relação a
: - Derivada da função interna em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 4
Fazendo o mesmo para
:
- Função externa:
- Função interna:
- Derivada da função externa em relação a
: - Derivada da função interna em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar
:
Substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão fatorando termos comuns. Observamos que
,
e
são comuns nos dois termos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Podemos fatorar 6:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos reorganizar os fatores para facilitar a leitura:
Resposta
A derivada da função é:
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em
.