f(x)=1theta^2 x e^-x / theta, 0 <= x
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de theta.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
f(x) = 1theta^2 x e^-x / theta, 0 <= x < infty, 0
O que a gente precisa encontrar aqui é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro theta. Isso faz parte do conteúdo de estatística, mais especificamente de estimadores. Vamos precisar usar conceitos de função de verossimilhança e otimização para achar o valor de theta que mais “bate” com os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Quando a gente tem uma amostra de dados, a verossimilhança é um função que mede a probabilidade de observar esses dados em função do parâmetro que queremos estimar, no caso, theta.
Então, se tivermos uma amostra x1, x2, dots, xn, a função de verossimilhança L(theta) é o produto das densidades individuais:
L(theta) = prodi=1^n f(xi) = prodi=1^n 1theta^2 xi e^-xi / theta

Passo 3

Para facilitar os cálculos, a gente vai trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança, que chama a gente de log-verossimilhança. Isso transforma o produto em soma, deixando tudo mais simples:
ell(theta) = ln L(theta) = sumi=1^n ln( 1theta^2 xi e^-xi / theta )
Vamos simplificar isso agora:
ell(theta) = sumi=1^n ( ln(1theta^2) + ln(xi) + ln(e^-xi / theta) )
ell(theta) = sumi=1^n ( -2ln(theta) + ln(xi) - xitheta )

Passo 4

Agora, para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, a gente precisa achar o valor de theta que maximiza a log-verossimilhança. Para isso, vamos derivar ell(theta) em relação a theta e igualar a zero:
dell(theta)dtheta = sumi=1^n ( -2theta + xitheta^2 ) = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para theta. Primeiro, somamos tudo:
- 2ntheta + sumi=1^n xitheta^2 = 0
Multiplicando os dois lados por theta^2 para eliminar os denominadores:
-2ntheta + sumi=1^n xi = 0
Agora, isolando theta:
2ntheta = sumi=1^n xi
theta = sumi=1^n xi2n
theta = barx2
Onde barx é a média da amostra.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de theta é metade da média da amostra, ou seja:
theta = barx2

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