Encontre o estimador de máxima verossimilhança de .

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
O que a gente precisa encontrar aqui é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro . Isso faz parte do conteúdo de estatística, mais especificamente de estimadores. Vamos precisar usar conceitos de função de verossimilhança e otimização para achar o valor de que mais “bate” com os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Quando a gente tem uma amostra de dados, a verossimilhança é um função que mede a probabilidade de observar esses dados em função do parâmetro que queremos estimar, no caso, .
Então, se tivermos uma amostra , a função de verossimilhança é o produto das densidades individuais:

Passo 3

Para facilitar os cálculos, a gente vai trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança, que chama a gente de log-verossimilhança. Isso transforma o produto em soma, deixando tudo mais simples:
Vamos simplificar isso agora:

Passo 4

Agora, para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, a gente precisa achar o valor de que maximiza a log-verossimilhança. Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, somamos tudo:
Multiplicando os dois lados por para eliminar os denominadores:
Agora, isolando :
Onde é a média da amostra.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de é metade da média da amostra, ou seja:

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á
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de , baseado em uma amostra aleatória de tamanho .
Seja uma variável aleatória com função de densidade constante na região . Determine:
b)
á
(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho . Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?
A variável aleatória bidimensional tem densidade igual a
se , e ZERO em caso contrário. Determine:
d)