Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
O que a gente precisa encontrar aqui é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro
. Isso faz parte do conteúdo de estatística, mais especificamente de estimadores. Vamos precisar usar conceitos de função de verossimilhança e otimização para achar o valor de
que mais “bate” com os dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Quando a gente tem uma amostra de dados, a verossimilhança é um função que mede a probabilidade de observar esses dados em função do parâmetro que queremos estimar, no caso,
.
Então, se tivermos uma amostra
, a função de verossimilhança
é o produto das densidades individuais:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, a gente vai trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança, que chama a gente de log-verossimilhança. Isso transforma o produto em soma, deixando tudo mais simples:
Vamos simplificar isso agora:
Passo 4
Agora, para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, a gente precisa achar o valor de
que maximiza a log-verossimilhança. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, somamos tudo:
Multiplicando os dois lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, isolando
:
Onde
é a média da amostra.
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança de
é metade da média da amostra, ou seja: