Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade
definida por partes e queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (ou MLE, na sigla em inglês) para o parâmetro
. Isso pertence ao tema de Estatística e, mais especificamente, à Teoria da Estimativa. Para isso, vamos precisar entender o que é a função de verossimilhança e como maximizar ela para encontrar o melhor valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma amostra aleatória. Suponha que temos
observações independentes
tiradas da distribuição definida pela função
. A função de verossimilhança
é o produto das densidades das observações, ou seja:
Como nossas observações são independentes e todas seguem a mesma distribuição, isso simplifica nossa vida.
Passo 3
Vamos substituir a função
na expressão da verossimilhança. Para
, temos
. Assim, a função de verossimilhança fica:
Passo 4
Para facilitar a maximização, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Usando propriedades dos logaritmos, isso se torna:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação acima para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança de
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma variável aleatória com função de densidade constante na região
. Determine:
b)
b)
Em uma universidade, a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos integrais é uma variável aleatória
e a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos parciais é uma variável aleatória
. Verifique se
e
são independentes se a distribuição conjunta de (
) é:
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
.
(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
. Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?