á
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de , baseado em uma amostra aleatória de tamanho .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade definida por partes e queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (ou MLE, na sigla em inglês) para o parâmetro . Isso pertence ao tema de Estatística e, mais especificamente, à Teoria da Estimativa. Para isso, vamos precisar entender o que é a função de verossimilhança e como maximizar ela para encontrar o melhor valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma amostra aleatória. Suponha que temos observações independentes tiradas da distribuição definida pela função . A função de verossimilhança é o produto das densidades das observações, ou seja:
Como nossas observações são independentes e todas seguem a mesma distribuição, isso simplifica nossa vida.

Passo 3

Vamos substituir a função na expressão da verossimilhança. Para , temos . Assim, a função de verossimilhança fica:

Passo 4

Para facilitar a maximização, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Usando propriedades dos logaritmos, isso se torna:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação acima para :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :
Finalmente, isolando :

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de é:

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória com função de densidade constante na região . Determine:
b)
Em uma universidade, a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos integrais é uma variável aleatória e a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos parciais é uma variável aleatória . Verifique se e são independentes se a distribuição conjunta de ( ) é:
á
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de .
á
(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho . Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?