f(x)=cl (theta+1) x^theta, & 0 <= x <= 1 0, & caso contrário á
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de theta, baseado em uma amostra aleatória de tamanho n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade definida por partes e queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (ou MLE, na sigla em inglês) para o parâmetro . Isso pertence ao tema de Estatística e, mais especificamente, à Teoria da Estimativa. Para isso, vamos precisar entender o que é a função de verossimilhança e como maximizar ela para encontrar o melhor valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma amostra aleatória. Suponha que temos L(theta) = f(x1) times f(x2) times dots times f(xn) observações independentes tiradas da distribuição definida pela função . A função de verossimilhança é o produto das densidades das observações, ou seja:
Como nossas observações são independentes e todas seguem a mesma distribuição, isso simplifica nossa vida.

Passo 3

Vamos substituir a função L(theta) = prodi=1^n (theta + 1) xi^theta = (theta + 1)^n times prodi=1^n xi^theta na expressão da verossimilhança. Para , temos . Assim, a função de verossimilhança fica:

Passo 4

Para facilitar a maximização, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
ell(theta) = ln L(theta) = ln ( (theta + 1)^n times prodi=1^n xi^theta )
Usando propriedades dos logaritmos, isso se torna:
ell(theta) = n ln (theta + 1) + theta sumi=1^n ln xi

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de dell(theta)dtheta = ntheta + 1 + sumi=1^n ln xi = 0 que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação acima para ntheta + 1 = -sumi=1^n ln xi :
n = -(theta + 1) sumi=1^n ln xi
Multiplicando ambos os lados por theta + 1 = n- sumi=1^n ln xi :
theta = n- sumi=1^n ln xi - 1
Dividindo ambos os lados por :
Finalmente, isolando :

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de theta = n- sumi=1^n ln xi - 1 é:

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