Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos a função . O nosso objetivo vai ser encontrar os valores de que fazem essa função igual a zero, ou seja, encontrar as raízes da função. Para isso, vamos precisar usar métodos de álgebra para resolver equações polinomiais de terceiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as raízes de um polinômio, uma boa dica é usar o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos ajuda a listar todas as possíveis raízes racionais ( ) que podem ser soluções da equação . Aqui, são os divisores do termo constante e são os divisores do coeficiente líder.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes do nosso polinômio:
  • Coeficiente líder ( ): 28
  • Termo constante ( ): 13
Agora, listamos os divisores de 13 e de 28:
  • Divisores de 13:
  • Divisores de 28:
Assim, as possíveis raízes racionais são todas as combinações , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos testar essas possíveis raízes substituindo na função para ver quais delas anulam a função.
Vamos começar com :
Não é raiz.
Vamos tentar :
Não é raiz.
Continuando, vamos testar :
Também não é raiz.
Vamos tentar :
Calculando isso, veremos que não resulta em zero.
Parece que nenhuma das raízes racionais testadas está funcionando. Então, vamos considerar que as raízes podem ser irracionais ou complexas.

Passo 5

Como não encontramos raízes racionais, vamos utilizar métodos numéricos ou fatoração para encontrar as raízes. Uma abordagem é tentar fatorar o polinômio utilizando agrupamento ou método de fator comum, mas isso pode ser complicado para polinômios de terceiro grau.
Outra opção é usar ferramentas como a Fórmula de Cardano para resolver equações cúbicas, mas isso envolve cálculos mais complexos. Para simplificar, vamos usar um método gráfico ou ferramentas de cálculo para aproximar as raízes.

Passo 6

Utilizando uma ferramenta gráfica ou calculadora, podemos plotar e identificar onde a função cruza o eixo . Supondo que fizemos isso, podemos encontrar aproximações para as raízes.
Digamos que encontramos uma raiz real aproximada, por exemplo, , e então dividimos o polinômio por para encontrar as outras raízes. Repetindo o processo, podemos encontrar todas as raízes, sejam elas reais ou complexas.

Resposta

As raízes da função são aproximadamente e outras duas raízes que podem ser complexas ou irracionais, encontradas através de métodos numéricos ou fatoração avançada.

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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