Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo derivativo, que nos ajuda a entender como uma função se comporta em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto do domínio. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo lá. Se for negativa, está decrescendo.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de uma constante, que é 1, é 0
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a dividir a linha dos números em intervalos para testar se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Resolva :
Fatorando:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos agora analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Isso nos dirá se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Os intervalos são:
Escolhemos um número de teste em cada intervalo e substituímos na derivada para ver o sinal.
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    • (negativo)
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    • (positivo)
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    • (negativo)
  4. Intervalo :
    • Escolha :
    • (positivo)

Passo 5

Com base nos sinais da derivada, podemos concluir:
  • Crescendo quando :
    • Intervalo
    • Intervalo
  • Decrescendo quando :
    • Intervalo
    • Intervalo

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos e .

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Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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