Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo derivativo, que nos ajuda a entender como uma função se comporta em termos de aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto do domínio. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo lá. Se for negativa, está decrescendo.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de uma constante, que é 1, é 0
Então, a derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a dividir a linha dos números em intervalos para testar se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Resolva
:
Fatorando:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos agora analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Isso nos dirá se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Os intervalos são:
Escolhemos um número de teste em cada intervalo e substituímos na derivada
para ver o sinal.
-
Intervalo
: - Escolha
: -
(negativo)
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: -
(positivo)
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: -
(negativo)
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: -
(positivo)
- Escolha
Passo 5
Com base nos sinais da derivada, podemos concluir:
-
Crescendo quando
: - Intervalo
- Intervalo
- Intervalo
-
Decrescendo quando
: - Intervalo
- Intervalo
- Intervalo
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente nos intervalos
e
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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