Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores A e B disputam um jogo em n etapas independentes onde A tem probabilidade q, de vencer B em cada prova.
b) Se n=100, qual a probabilidade de A vencer mais do que 75 provas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois jogadores, A e B, que jogam 100 provas independentes. A probabilidade de A vencer cada prova é um número q escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. A pergunta é: qual a probabilidade de A vencer mais de 75 dessas provas?
Aqui, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações com um número fixo de provas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (vitória ou derrota).

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória X como o número de vitórias de A em 100 provas. Queremos encontrar P(X > 75), ou seja, a probabilidade de A ganhar mais de 75 provas.
Como q é escolhido aleatoriamente no intervalo (0,1), ele segue uma distribuição uniforme nesse intervalo.

Passo 3

A probabilidade de A vencer exatamente k provas, dado q, é dada pela fórmula da distribuição binomial:
P(X = k | q) = binom100k q^k (1 - q)^100 - k
Queremos a soma dessas probabilidades para todos os k maiores que 75:
P(X > 75 | q) = sumk=76^100 binom100k q^k (1 - q)^100 - k

Passo 4

Como q é uniforme, para encontrar a probabilidade total P(X > 75), precisamos integrar essa soma em relação a q de 0 a 1:
P(X > 75) = integral0^1 P(X > 75 | q) , dq
Essa integração leva em conta todas as possíveis valores de q e suas respectivas probabilidades.

Passo 5

Calcular essa integral diretamente é bem complicado, mas podemos simplificar observando que para A vencer mais de 75 provas, a probabilidade q precisa ser maior que 0.75. Isso porque, em média, se q = 0.75, A venceria exatamente 75 provas.
Então, podemos aproximar a probabilidade como a área em que q > 0.75 no intervalo (0,1):
P(X > 75) approx integral0.75^1 1 , dq = 1 - 0.75 = 0.25

Resposta

A probabilidade de A vencer mais do que 75 provas é 0,25 ou 25%.

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