Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores
e
disputam um jogo em
etapas independentes onde
tem probabilidade
, de vencer
em cada prova.
b) Se
, qual a probabilidade de A vencer mais do que 75 provas?
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois jogadores,
e
, que jogam 100 provas independentes. A probabilidade de
vencer cada prova é um número
escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. A pergunta é: qual a probabilidade de
vencer mais de 75 dessas provas?
Aqui, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações com um número fixo de provas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (vitória ou derrota).
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória
como o número de vitórias de
em 100 provas. Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade de
ganhar mais de 75 provas.
Como
é escolhido aleatoriamente no intervalo (0,1), ele segue uma distribuição uniforme nesse intervalo.
Passo 3
A probabilidade de
vencer exatamente
provas, dado
, é dada pela fórmula da distribuição binomial:
Queremos a soma dessas probabilidades para todos os
maiores que 75:
Passo 4
Como
é uniforme, para encontrar a probabilidade total
, precisamos integrar essa soma em relação a
de 0 a 1:
Essa integração leva em conta todas as possíveis valores de
e suas respectivas probabilidades.
Passo 5
Calcular essa integral diretamente é bem complicado, mas podemos simplificar observando que para
vencer mais de 75 provas, a probabilidade
precisa ser maior que 0.75. Isso porque, em média, se
,
venceria exatamente 75 provas.
Então, podemos aproximar a probabilidade como a área em que
no intervalo (0,1):
Resposta
A probabilidade de
vencer mais do que 75 provas é
ou 25%.
Exercícios relacionados
Quando
, essa função densidade se reduz à distribuição exponencial usual. Quando
, há somente probabilidade positiva para a direita de
.
(a) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de , baseado em uma amostra aleatória de tamanho
.
(b) Descreva uma situação prática em que alguém suspeitaria que a distribuição exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.
(a) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
(b) Descreva uma situação prática em que alguém suspeitaria que a distribuição exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.
Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra
ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Determinar o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:
Data | Valor do cheque ($) |
|
|
11 de abril |
|
21 de abril |
|
(a) Encontre
valor da constante
.
(b) Qual é o estimador de momento para ?
© Mostre que é um estimador não tendencioso para
.
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para .
(b) Qual é o estimador de momento para
© Mostre que
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
Suponha que o número de pessoas que procuram uma agência dos Correios em um dado dia é uma variável aleatória de Poisson (
). Mostre que se cada pessoa que entra na agência é um homem com probabilidade
ou uma mulher com probabilidade (1-p), então o número de homens e mulheres que entram na agência são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros
e
, respectivamente.