Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores e disputam um jogo em etapas independentes onde tem probabilidade , de vencer em cada prova.
b) Se , qual a probabilidade de A vencer mais do que 75 provas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois jogadores, e , que jogam 100 provas independentes. A probabilidade de vencer cada prova é um número escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. A pergunta é: qual a probabilidade de vencer mais de 75 dessas provas?
Aqui, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações com um número fixo de provas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (vitória ou derrota).

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória como o número de vitórias de em 100 provas. Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de ganhar mais de 75 provas.
Como é escolhido aleatoriamente no intervalo (0,1), ele segue uma distribuição uniforme nesse intervalo.

Passo 3

A probabilidade de vencer exatamente provas, dado , é dada pela fórmula da distribuição binomial:
Queremos a soma dessas probabilidades para todos os maiores que 75:

Passo 4

Como é uniforme, para encontrar a probabilidade total , precisamos integrar essa soma em relação a de 0 a 1:
Essa integração leva em conta todas as possíveis valores de e suas respectivas probabilidades.

Passo 5

Calcular essa integral diretamente é bem complicado, mas podemos simplificar observando que para vencer mais de 75 provas, a probabilidade precisa ser maior que 0.75. Isso porque, em média, se , venceria exatamente 75 provas.
Então, podemos aproximar a probabilidade como a área em que no intervalo (0,1):

Resposta

A probabilidade de vencer mais do que 75 provas é ou 25%.

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