Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores
e
disputam um jogo em
etapas independentes onde
tem probabilidade
, de vencer
em cada prova.
b) Se
, qual a probabilidade de A vencer mais do que 75 provas?
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois jogadores,
e
, que jogam 100 provas independentes. A probabilidade de
vencer cada prova é um número
escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. A pergunta é: qual a probabilidade de
vencer mais de 75 dessas provas?
Aqui, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações com um número fixo de provas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (vitória ou derrota).
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória
como o número de vitórias de
em 100 provas. Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade de
ganhar mais de 75 provas.
Como
é escolhido aleatoriamente no intervalo (0,1), ele segue uma distribuição uniforme nesse intervalo.
Passo 3
A probabilidade de
vencer exatamente
provas, dado
, é dada pela fórmula da distribuição binomial:
Queremos a soma dessas probabilidades para todos os
maiores que 75:
Passo 4
Como
é uniforme, para encontrar a probabilidade total
, precisamos integrar essa soma em relação a
de 0 a 1:
Essa integração leva em conta todas as possíveis valores de
e suas respectivas probabilidades.
Passo 5
Calcular essa integral diretamente é bem complicado, mas podemos simplificar observando que para
vencer mais de 75 provas, a probabilidade
precisa ser maior que 0.75. Isso porque, em média, se
,
venceria exatamente 75 provas.
Então, podemos aproximar a probabilidade como a área em que
no intervalo (0,1):
Resposta
A probabilidade de
vencer mais do que 75 provas é
ou 25%.