Quando
, essa função densidade se reduz à distribuição exponencial usual. Quando
, há somente probabilidade positiva para a direita de
.
(a) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
.
(b) Descreva uma situação prática em que alguém suspeitaria que a distribuição exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.
(a) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
(b) Descreva uma situação prática em que alguém suspeitaria que a distribuição exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de
, usando uma amostra aleatória de tamanho
. A matéria envolvida aqui é Estatística, mais precisamente a estimação por máxima verossimilhança. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e então maximizar essa função para encontrar o EMV.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Quando temos uma amostra
independente e identicamente distribuída (iid) com densidade
, a função de verossimilhança é o produto das densidades individuais:
No nosso caso, a densidade é:
Passo 3
Agora, vamos montar a função de verossimilhança para a nossa amostra. Substituindo
na expressão da verossimilhança, temos:
Simplificando o expoente:
Passo 4
Para facilitar a maximização, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, conhecido como log-verossimilhança:
Passo 5
Nosso objetivo é maximizar
em relação aos parâmetros
e
. Vamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero para encontrar os estimadores que maximizam a verossimilhança.
Primeiro, derivando em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Isso sugere que não há um ponto máximo para
neste contexto, o que indica que o estimador de
está no limite inferior do suporte da distribuição, ou seja,
é estimado pelo mínimo da amostra,
.
Passo 7
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir
pelo estimador que encontramos. Então, substituindo
em
:
Passo 8
Finalmente, queremos o estimador de
. Já temos
e
, então:
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança de
é dado por: