Quando , essa função densidade se reduz à distribuição exponencial usual. Quando , há somente probabilidade positiva para a direita de .
(a) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de , baseado em uma amostra aleatória de tamanho .
(b) Descreva uma situação prática em que alguém suspeitaria que a distribuição exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de , usando uma amostra aleatória de tamanho . A matéria envolvida aqui é Estatística, mais precisamente a estimação por máxima verossimilhança. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e então maximizar essa função para encontrar o EMV.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Quando temos uma amostra independente e identicamente distribuída (iid) com densidade , a função de verossimilhança é o produto das densidades individuais:
No nosso caso, a densidade é:

Passo 3

Agora, vamos montar a função de verossimilhança para a nossa amostra. Substituindo na expressão da verossimilhança, temos:
Simplificando o expoente:

Passo 4

Para facilitar a maximização, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, conhecido como log-verossimilhança:

Passo 5

Nosso objetivo é maximizar em relação aos parâmetros e . Vamos derivar em relação a e e igualar a zero para encontrar os estimadores que maximizam a verossimilhança.
Primeiro, derivando em relação a :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a :
Isso sugere que não há um ponto máximo para neste contexto, o que indica que o estimador de está no limite inferior do suporte da distribuição, ou seja, é estimado pelo mínimo da amostra, .

Passo 7

Agora que temos em termos de , podemos substituir pelo estimador que encontramos. Então, substituindo em :

Passo 8

Finalmente, queremos o estimador de . Já temos e , então:

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de é dado por:

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Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Determinar o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:
Data Valor do cheque ($)
de abril
11 de abril
21 de abril
Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores e disputam um jogo em etapas independentes onde tem probabilidade , de vencer em cada prova.
b) Se , qual a probabilidade de A vencer mais do que 75 provas?
(a) Encontre valor da constante .
(b) Qual é o estimador de momento para ?
© Mostre que é um estimador não tendencioso para .
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para .