f(x)=lambda e^-lambda(x-theta), x >= theta
Quando theta=0, essa função densidade se reduz à distribuição exponencial usual. Quando theta>0, há somente probabilidade positiva para a direita de theta.
(a) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de lambda e theta, baseado em uma amostra aleatória de tamanho n.
(b) Descreva uma situação prática em que alguém suspeitaria que a distribuição exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de , usando uma amostra aleatória de tamanho . A matéria envolvida aqui é Estatística, mais precisamente a estimação por máxima verossimilhança. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e então maximizar essa função para encontrar o EMV.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Quando temos uma amostra L(lambda, theta) = prodi=1^n f(Xi) independente e identicamente distribuída (iid) com densidade f(x) = lambda e^-lambda(x - theta), x >= theta , a função de verossimilhança é o produto das densidades individuais:
No nosso caso, a densidade é:

Passo 3

Agora, vamos montar a função de verossimilhança para a nossa amostra. Substituindo L(lambda, theta) = prodi=1^n lambda e^-lambda(Xi - theta) = lambda^n e^-lambda sumi=1^n (Xi - theta) na expressão da verossimilhança, temos:
L(lambda, theta) = lambda^n e^-lambda ( sumi=1^n Xi - ntheta )
Simplificando o expoente:

Passo 4

Para facilitar a maximização, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, conhecido como log-verossimilhança:
ell(lambda, theta) = ln L(lambda, theta) = n ln lambda - lambda ( sumi=1^n Xi - ntheta )

Passo 5

Nosso objetivo é maximizar partial ellpartial lambda = nlambda - ( sumi=1^n Xi - ntheta ) = 0 em relação aos parâmetros lambda = nsumi=1^n Xi - ntheta e . Vamos derivar em relação a e e igualar a zero para encontrar os estimadores que maximizam a verossimilhança.
Primeiro, derivando em relação a :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos derivar partial ellpartial theta = lambda n = 0 em relação a :
Isso sugere que não há um ponto máximo para neste contexto, o que indica que o estimador de está no limite inferior do suporte da distribuição, ou seja, é estimado pelo mínimo da amostra, .

Passo 7

Agora que temos lambda = nsumi=1^n Xi - n minXi em termos de , podemos substituir pelo estimador que encontramos. Então, substituindo em :

Passo 8

Finalmente, queremos o estimador de lambda e^theta = lambda e^theta = nsumi=1^n Xi - n minXi cdot e^minXi . Já temos e , então:

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança de lambda e^theta = n cdot e^minXisumi=1^n Xi - n minXi é dado por:

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