f(x) = cos((1 + 3*x)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mostrou a função . Acho que o exercício pede para a gente encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as “camadas” da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Temos uma função composta: a função cosseno elevada ao quadrado e o argumento interno .

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a visualização das camadas:
onde .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usaremos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 5

Primeiro, derivamos a função externa em relação a :

Passo 6

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando as duas derivadas:

Passo 8

Substituímos de volta por :

Passo 9

Se preferir, podemos simplificar usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A derivada de é:
ou, simplificada,

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