Encontre a derivada da função.
y = (e^4 - e^(-1)) / (e^4 + e^(-4))

Passo 1

Vamos entender a questão! Temos a função:
E queremos encontrar a derivada dessa função. Para isso, vamos precisar usar a regra da derivação de quocientes e conhecer um pouco sobre funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos derivar e em relação a :
Aqui, usamos a regra da derivada da função exponencial, onde a derivada de é .

Passo 4

Com , , e definidos, aplicamos a regra da derivada de um quociente:
Substituindo pelos valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Expandindo ambos os termos:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 6

Agora, substituímos o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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