Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A gente tem a função
definida no intervalo
. O que vamos precisar para resolver isso envolve entender funções trigonométricas, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e como analisar essas funções dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada dela é zero ou não está definida. Esses pontos são chamados de pontos críticos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
A gente sabe que
pode ser escrito usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
Agora, vamos resolver para
. Seja
, então:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto,
ou
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os valores de
no intervalo
que satisfazem essas equações:
-
: -
, , ,
-
-
: -
,
-
Passo 9
Além dos pontos críticos, precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Passo 10
Agora, vamos calcular
nesses pontos:
-
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
Passo 11
Agora, vamos analisar os valores obtidos para determinar os máximos e mínimos:
- Máximos:
em , , e - Mínimos:
em - Valores nos extremos:
e
Resposta
Os pontos de máximo da função
no intervalo
são
nos pontos
,
, e
. O ponto de mínimo é
em
. Além disso, nos extremos do intervalo, a função vale 2 em
e
.