f(x) = 2 cos(x) + sen(2x), x ∈ [0, 4 pi]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A gente tem a função definida no intervalo . O que vamos precisar para resolver isso envolve entender funções trigonométricas, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e como analisar essas funções dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada dela é zero ou não está definida. Esses pontos são chamados de pontos críticos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

A gente sabe que pode ser escrito usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na equação:

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
Agora, vamos resolver para . Seja , então:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, ou .

Passo 8

Agora, vamos encontrar os valores de no intervalo que satisfazem essas equações:
  1. :
    • , , ,
  2. :
    • ,

Passo 9

Além dos pontos críticos, precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em e .

Passo 10

Agora, vamos calcular nesses pontos:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :
  6. :
  7. :
  8. :

Passo 11

Agora, vamos analisar os valores obtidos para determinar os máximos e mínimos:
  • Máximos: em , , e
  • Mínimos: em
  • Valores nos extremos: e

Resposta

Os pontos de máximo da função no intervalo são nos pontos , , e . O ponto de mínimo é em . Além disso, nos extremos do intervalo, a função vale 2 em e .

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