Mostre que sen
.
(Sugestão: para
, use propriedades da trigonometria, para
, use derivada)
(Sugestão: para
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Devemos mostrar que
para todo
. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas. Vamos dividir a resolução em duas partes:
- Para
, usaremos propriedades da trigonometria. - Para
, utilizaremos derivadas.
Passo 2
Vamos começar analisando o caso em que
. Sabemos que o seno de um ângulo atinge seu valor máximo de 1 quando
. Além disso, para
, o valor de
aumenta, enquanto
oscila entre -1 e 1. Portanto, para
, claramente
, já que
é maior ou igual a
, que é aproximadamente 1,57, e
nunca ultrapassa 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar o intervalo
. Para mostrar que
nesse intervalo, utilizaremos a derivada da função
. Se mostrarmos que
é crescente nesse intervalo e que
, podemos concluir que
, ou seja,
e, portanto,
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Para
, sabemos que
é positiva e menor que 1, pois
e
. Portanto,
, o que significa que
. Isso indica que
está aumentando nesse intervalo.
Passo 5
Como
é crescente e
, para todo
no intervalo
, temos
. Ou seja:
Assim, mostramos que
para
.
Resposta
Portanto, concluímos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
e
. Mostre que
.
Prove, para
, a desigualdade
.