Mostre que sen .
(Sugestão: para , use propriedades da trigonometria, para , use derivada)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Devemos mostrar que para todo . Isso envolve conhecimentos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas. Vamos dividir a resolução em duas partes:
  1. Para , usaremos propriedades da trigonometria.
  2. Para , utilizaremos derivadas.

Passo 2

Vamos começar analisando o caso em que . Sabemos que o seno de um ângulo atinge seu valor máximo de 1 quando . Além disso, para , o valor de aumenta, enquanto oscila entre -1 e 1. Portanto, para , claramente , já que é maior ou igual a , que é aproximadamente 1,57, e nunca ultrapassa 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar o intervalo . Para mostrar que nesse intervalo, utilizaremos a derivada da função . Se mostrarmos que é crescente nesse intervalo e que , podemos concluir que , ou seja, e, portanto, .

Passo 4

Calculamos a derivada de :
Para , sabemos que é positiva e menor que 1, pois e . Portanto, , o que significa que . Isso indica que está aumentando nesse intervalo.

Passo 5

Como é crescente e , para todo no intervalo , temos . Ou seja:
Assim, mostramos que para .

Resposta

Portanto, concluímos que para todo .

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Seja uma função tal que e . Mostre que .
Prove, para , a desigualdade .